Verifique que x e x^2 são linearmente independentes em ] - 1, 1[, mas que W(x, x^2) se anula em x=0. A partir deste fato, o que se conclui sobre a possibilidade de x e x^2 serem soluções de y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0?
Mostre que x e x^2 são soluções de x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0. Isto é contraditório com o que se obteve acima? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar a independência linear de x e x² em ]–1,1[, notar que o Wronskiano se anula em x=0 e entender por que isso impede que elas sejam soluções de uma equação do tipo y’’+p(x)y’+q(x)y=0 com p,q contínuas. Depois, mostrar que x e x² resolvem a equação x²y’’–2xy’+2y=0 e discutir se há contradição.

Passo 2

Para checar a independência linear, calculamos o Wronskiano de x e x²:
W(x)=x & x^21 & 2x=xcdot 2x - x^2cdot1=2x^2 - x^2 = x^2
Como W(x)≠0 para todo x≠0 em ]–1,1[, x e x² são linearmente independentes nesse domínio. Mas W(0)=0.

Passo 3

Pela fórmula de Abel, se y₁,y₂ são soluções de y’’+p(x)y’+q(x)y=0 num intervalo onde p é contínua, então
W(x)=Cexpl(-integral p(x),dxr)
não pode ter zeros isolados — ou é sempre nulo ou nunca nulo. Como nosso W se anula em x=0, não existe p,q contínuas em ]–1,1[ tais que x e x² sejam soluções simultâneas de y’’+p(x)y’+q(x)y=0.

Passo 4

Portanto concluímos que x e x² não podem ser soluções de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes contínuos passando por x=0.

Passo 5

Agora mostramos que elas são soluções de x²y’’–2xy’+2y=0. Para y=x temos y’=1 e y’’=0, logo
x^2cdot0 -2xcdot1 +2x = -2x +2x =0
Para y=x² temos y’=2x e y’’=2, então
x^2cdot2 -2xcdot2x +2x^2 =2x^2 -4x^2 +2x^2 =0

Passo 6

Dividindo a equação por x² (em x≠0) a gente obtém
y'' - 2xy' + 2x^2y =0,
ou seja p(x)=–2/x e q(x)=2/x², que não são contínuos em x=0. Logo não há contradição: o teorema de Abel exigia continuidade de p e q incluindo x=0, e aqui eles têm singularidade.

Passo 7

Assim, não há conflito entre os fatos: x e x² resolvem a equação de Euler dada, mas não poderiam resolver uma equação de coeficientes contínuos em ]–1,1[.

Resposta

Não há contradição. O Wronskiano nulo em x=0 impede soluções de y’’+p(x)y’+q(x)y=0 com p,q contínuas em ]–1,1[. Na equação x²y’’–2xy’+2y=0, p(x)=–2/x e q(x)=2/x² têm singularidade em x=0, logo a hipótese de Abel não vale ali.

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