Verifique que
e
são linearmente independentes em ] - 1,
, mas que
se anula em
. A partir deste fato, o que se conclui sobre a possibilidade de
e
serem soluções de
?
Mostre que
e
são soluções de
. Isto é contraditório com o que se obteve acima? Justifique a sua resposta.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar a independência linear de x e x² em ]–1,1[, notar que o Wronskiano se anula em x=0 e entender por que isso impede que elas sejam soluções de uma equação do tipo y’’+p(x)y’+q(x)y=0 com p,q contínuas. Depois, mostrar que x e x² resolvem a equação x²y’’–2xy’+2y=0 e discutir se há contradição.
Passo 2
Para checar a independência linear, calculamos o Wronskiano de x e x²:
Como W(x)≠0 para todo x≠0 em ]–1,1[, x e x² são linearmente independentes nesse domínio. Mas W(0)=0.
Passo 3
Pela fórmula de Abel, se y₁,y₂ são soluções de y’’+p(x)y’+q(x)y=0 num intervalo onde p é contínua, então
não pode ter zeros isolados — ou é sempre nulo ou nunca nulo. Como nosso W se anula em x=0, não existe p,q contínuas em ]–1,1[ tais que x e x² sejam soluções simultâneas de y’’+p(x)y’+q(x)y=0.
Passo 4
Portanto concluímos que x e x² não podem ser soluções de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes contínuos passando por x=0.
Passo 5
Agora mostramos que elas são soluções de x²y’’–2xy’+2y=0. Para y=x temos y’=1 e y’’=0, logo
Para y=x² temos y’=2x e y’’=2, então
Passo 6
Dividindo a equação por x² (em x≠0) a gente obtém
ou seja p(x)=–2/x e q(x)=2/x², que não são contínuos em x=0. Logo não há contradição: o teorema de Abel exigia continuidade de p e q incluindo x=0, e aqui eles têm singularidade.
Passo 7
Assim, não há conflito entre os fatos: x e x² resolvem a equação de Euler dada, mas não poderiam resolver uma equação de coeficientes contínuos em ]–1,1[.
Resposta
Não há contradição. O Wronskiano nulo em x=0 impede soluções de y’’+p(x)y’+q(x)y=0 com p,q contínuas em ]–1,1[. Na equação x²y’’–2xy’+2y=0, p(x)=–2/x e q(x)=2/x² têm singularidade em x=0, logo a hipótese de Abel não vale ali.