Determine, em cada item, a solução da EDO dada.
ly^prime prime-6 y^prime+9 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=2,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' - 6y' + 9y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2. O conteúdo envolvido é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que a gente resolve usando a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 - 6r + 9 = 0
Resolvendo, percebemos que o discriminante é zero, logo há uma raiz dupla r=3.

Passo 3

Para raiz dupla r=3, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = igl(C1 + C2 xr)e^3x 
isso vem da teoria que diz que, se r é raiz de multiplicidade 2, aparece um termo extra x e^rx.

Passo 4

Agora vamos usar as condições iniciais. Primeiro, calculamos a derivada:
y'(x) = ddxl((C1 + C2 x)e^3xr) = l(C2 + 3(C1 + C2 x)r)e^3x
Aplicando y(0)=0 C1=0. Em seguida, aplicando y'(0)=2 fica C2 + 3C1 = C2 = 2.

Resposta

y(x) = 2x e^{3x}

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