Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr).
O conteúdo necessário envolve derivadas parciais, usando a regra da cadeia e, quando aparecer quociente, a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia a \ln(u) com u=1+x^2+y^2 e depois derivando u em relação a x e y, obtemos
f_x(x,y) =\frac{1}{1+x^2+y^2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(1+x^2+y^2) =\frac{2x}{\,1+x^2+y^2\,},
f_y(x,y) =\frac{1}{1+x^2+y^2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(1+x^2+y^2) =\frac{2y}{\,1+x^2+y^2\,}.

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a x e a y. Para f_{xx} e f_{xy} derivamos f_x:
f_x(x,y)=\frac{2x}{D},\quad D=1+x^2+y^2.
Usando a regra do quociente,
f_{xx} =\frac{2\cdot D - 2x\cdot(2x)}{D^2} =\frac{2+2x^2+2y^2 - 4x^2}{D^2} =\frac{2\bigl(1 - x^2 + y^2\bigr)}{(1+x^2+y^2)^2},
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2x}{D}\Bigr) =\frac{0\cdot D - 2x\cdot(2y)}{D^2} =\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Para f_{yy} derivamos f_y em relação a y. Similarmente,
f_y(x,y)=\frac{2y}{D},
f_{yy} =\frac{2\cdot D - 2y\cdot(2y)}{D^2} =\frac{2+2x^2+2y^2 - 4y^2}{D^2} =\frac{2\bigl(1 + x^2 - y^2\bigr)}{(1+x^2+y^2)^2}.
Pela igualdade das derivadas mistas de segunda ordem (teorema de Clairaut), temos
f_{yx}(x,y)=f_{xy}(x,y)=\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2}.

Resposta

f_{xx}(x,y) =\frac{2\bigl(1 - x^2 + y^2\bigr)}{(1+x^2+y^2)^2}, \quad f_{xy}(x,y) =\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2},
f_{yx}(x,y) =\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2}, \quad f_{yy}(x,y) =\frac{2\bigl(1 + x^2 - y^2\bigr)}{(1+x^2+y^2)^2}.

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