Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo necessário envolve derivadas parciais, usando a regra da cadeia e, quando aparecer quociente, a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia a
com
e depois derivando
em relação a
e
, obtemos
Passo 3
Agora derivamos novamente em relação a
e a
. Para
e
derivamos
:
Usando a regra do quociente,
Passo 4
Para
derivamos
em relação a
. Similarmente,
Pela igualdade das derivadas mistas de segunda ordem (teorema de Clairaut), temos