Calcule \frac{\partial}{\partial \vec{u}} f\left(x_{0}, y_{0}\right), sendo dados:
f(x, y)=x y,\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1) e \vec{u} o versor de 2 \vec{\imath}+\vec{\jmath}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=xy no ponto (1,1) na direção do versor de 2\vec\imath+\vec\jmath. Vamos usar a fórmula
D_{\vec u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=xy, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x,
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\nabla f(x,y)=(y,x).

Passo 3

Avaliando em (x_0,y_0)=(1,1), obtemos
\nabla f(1,1)=(1,1).

Passo 4

O vetor direção é \vec v=(2,1). Seu módulo é
\|\vec v\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.
Então o versor correspondente é
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt5},\,\frac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é
D_{\vec u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot \vec u =(1,1)\cdot\Bigl(\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\Bigr) =\frac{2+1}{\sqrt5} =\frac{3}{\sqrt5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{\sqrt5}

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