Calcule o valor das seguintes integrais:
\iint_{R} x \cos (y) d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x, x^{2} \leq y \leq \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x\cos(y) sobre a região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x,\;x^2\le y\le \pi\}.
O conteúdo principal é aplicação do Teorema de Fubini para integrais duplas e uso de integração iterada.

Passo 2

Como f é contínua em R, podemos usar Fubini e integrar primeiro em y e depois em x. Para cada x\ge0 temos y variando de x^2 até \pi. Observe que x^2\le\pi implica 0\le x\le\sqrt{\pi}. Assim,
\iint_{R} x\cos(y)\,dx\,dy =\int_{x=0}^{\sqrt{\pi}}\!\int_{y=x^2}^{\pi} x\cos(y)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=x^2}^{\pi} x\cos(y)\,dy = x\bigl[\sin(y)\bigr]_{y=x^2}^{y=\pi} = x\bigl(\sin(\pi)-\sin(x^2)\bigr) = -\,x\sin(x^2),
pois \sin(\pi)=0.

Passo 4

Restou integrar
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\,x\sin(x^2)\,dx.
Use a substituição u=x^2, de modo que du=2x\,dx. Quando x=0 temos u=0 e quando x=\sqrt{\pi} temos u=\pi. A integral fica
-\,\frac12\int_{u=0}^{\pi}\sin(u)\,du =-\frac12\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi} =-\frac12\bigl(-\cos(\pi)+\cos(0)\bigr) =-\frac12\bigl(-(-1)+1\bigr) =-1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados