Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=e^{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo envolvido é derivação parcial e vamos usar a regra da cadeia, já que f é composta de uma exponencial com argumento u(x,y)=x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada parcial de f em relação a x. Pela regra da cadeia,
f_x = \frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Como \partial u/\partial x = 2x, temos
f_x = 2x\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Agora a derivada parcial de f em relação a y. Novamente pela regra da cadeia,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Como \partial u/\partial y = -2y, resulta
f_y = -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada parcial \,f_{xx}=\partial(f_x)/\partial x. Tomando
\;f_x = 2x\,e^{u}, temos
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{u}\bigr) = 2\,e^{u} + 2x\cdot\bigl(e^{u}\cdot2x\bigr) = \bigl(2 + 4x^{2}\bigr)e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 5

Calculamos agora \,f_{xy}=\partial(f_x)/\partial y. A partir de
\;f_x = 2x\,e^{u}, deriva-se em relação a y:
f_{xy} = 2x\cdot\bigl(e^{u}\cdot(-2y)\bigr) = -4xy\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 6

Em seguida, \,f_{yy}=\partial(f_y)/\partial y. Como
\;f_y = -2y\,e^{u}, temos
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y\,e^{u}\bigr) = -2\,e^{u} + (-2y)\cdot\bigl(e^{u}\cdot(-2y)\bigr) = \bigl(4y^{2} - 2\bigr)e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 7

Para verificar, calculemos \,f_{yx}=\partial(f_y)/\partial x. Com
\;f_y=-2y\,e^{u},
f_{yx} = -2y\cdot\bigl(e^{u}\cdot2x\bigr) = -4xy\,e^{x^{2}-y^{2}},
que coincide com f_{xy}, conforme o teorema de Clairaut.

Resposta

f_{xx} = \bigl(4x^{2} + 2\bigr)e^{x^{2}-y^{2}}, \quad f_{yy} = \bigl(4y^{2} - 2\bigr)e^{x^{2}-y^{2}}, \quad f_{xy} = f_{yx} = -4xy\,e^{x^{2}-y^{2}}.

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