Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolvido é derivação parcial e vamos usar a regra da cadeia, já que
é composta de uma exponencial com argumento
.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada parcial de
em relação a
. Pela regra da cadeia,
Como
, temos
Passo 3
Agora a derivada parcial de
em relação a
. Novamente pela regra da cadeia,
Como
, resulta
Passo 4
Calculamos a segunda derivada parcial
. Tomando
, temos
Passo 5
Calculamos agora
. A partir de
, deriva-se em relação a
:
Passo 6
Em seguida,
. Como
, temos
Passo 7
Para verificar, calculemos
. Com
,
que coincide com
, conforme o teorema de Clairaut.