Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=e^{x y} \cdot \sin (x+y)+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
z = e^xy,sin(x+y) + x,y^2
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando as regras do produto e da cadeia. Vamos primeiro obter as derivadas de primeira ordem e, em seguida, derivar de novo para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Para zx = partial zpartial x aplicamos regra do produto em e^xysin(x+y) e derivamos x,y^2:
partialpartial xl(e^xysin(x+y)r) = underbracey,e^xypartialx e^xysin(x+y) + e^xyunderbracecos(x+y)partialxsin(x+y),
e
partialpartial x(x,y^2)=y^2
Logo,
zx = y,e^xysin(x+y) + e^xycos(x+y) + y^2

Passo 3

Para zy = partial zpartial y usamos análoga regra do produto e derivada de x,y^2:
partialpartial yl(e^xysin(x+y)r) = underbracex,e^xypartialy e^xysin(x+y) + e^xyunderbracecos(x+y)partialysin(x+y),
e
partialpartial y(x,y^2)=2,x,y
Logo,
zy = x,e^xysin(x+y) + e^xycos(x+y) + 2,x,y

Passo 4

Para zxx = partial^2 zpartial x^2 derivamos zx em relação a x. Aplicando novamente produto e cadeia em cada termo de
,y,e^xysin(x+y)+e^xycos(x+y), obtemos
zxx = y^2,e^xysin(x+y) +2,y,e^xycos(x+y) - e^xysin(x+y)
Colocando em forma fatorada:
zxx = e^xyl((y^2-1)sin(x+y)+2ycos(x+y)r)

Passo 5

Para zxy = partialpartial y(zx) derivamos
zx = y,e^xysin(x+y) + e^xycos(x+y) + y^2
em relação a y. Após aplicar produto e cadeia em cada parcela, achamos
zxy = x,y,e^xysin(x+y) + (x+y),e^xycos(x+y) + 2,y
Como a função é suave, vale zyx=zxy.

Passo 6

Para zyy = partial^2 zpartial y^2 derivamos zy em relação a y. Aplicando produto e cadeia em
,x,e^xysin(x+y)+e^xycos(x+y) e derivando 2xy, obtemos
zyy = x^2,e^xysin(x+y) +2,x,e^xycos(x+y) - e^xysin(x+y) +2,x
Em forma fatorada:
zyy = e^xyl((x^2-1)sin(x+y)+2xcos(x+y)r)+2x

Resposta

zx &= y,e^xysin(x+y) + e^xycos(x+y) + y^2, zy &= x,e^xysin(x+y) + e^xycos(x+y) + 2,x,y, zxx &= e^xyl((y^2-1)sin(x+y)+2ycos(x+y)r), zxy &= zyx = x,y,e^xysin(x+y)+(x+y),e^xycos(x+y)+2,y, zyy &= e^xyl((x^2-1)sin(x+y)+2xcos(x+y)r)+2,x

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