Seja e considere , e .
a) Mostre que converge pontualmente para se e só se fé contínua em IR.
b) Mostre que converge uniformemente para se e só se fé uniformemente contínua em R.
Passo 1
O enunciado define e, para cada ,
Precisamos mostrar duas equivalências:
converge pontualmente para é contínua em .
converge uniformemente para é uniformemente contínua em .
Passo 2
Suponha primeiro que é contínua. Dado , temos
e pela continuidade de em segue
Assim converge para para todo , ou seja, há convergência pontual.
Passo 3
Para o recíproco, suponha que pontualmente. Queremos mostrar que é contínua em um ponto arbitrário . Defina
Então
Como há convergência pontual, também
Mas , e diz exatamente que é contínua em .
Passo 4
Agora parte (b), direção “”. Suponha que seja uniformemente contínua. Dado , existe tal que
Como , escolhemos com . Então, para todo e todo ,
Isso mostra supx|fn(x)-f(x)|<varepsilon para n>= N, ou seja, convergência uniforme.
Passo 5
Para “Leftarrow”, suponha que fnto f uniformemente. Então
a) fn converge pontualmente para f se, e somente se, f é contínua em R.
b) fn converge uniformemente para f se, e somente se, f é uniformemente contínua em R.