Seja f: R R e considere fn(x)=f(x+1n), x in IR e n in I N.
a) Mostre que fn n >= 1 converge pontualmente para f se e só se fé contínua em IR.
b) Mostre que fn n >= 1 converge uniformemente para f se e só se fé uniformemente contínua em R.

Passo 1

O enunciado define fcolon RtoR e, para cada ninN,
fn(x)=f!l(x+tfrac1nr)
Precisamos mostrar duas equivalências:
  1. fn converge pontualmente para f ;Leftrightarrow f é contínua em R.
  2. fn converge uniformemente para f ;Leftrightarrow f é uniformemente contínua em R.

Passo 2

Suponha primeiro que f é contínua. Dado xinR, temos
limntoinfty l(x+tfrac1nr)=x,
e pela continuidade de f em x segue
limntoinfty fn(x) =limntoinfty f!l(x+tfrac1nr) =f(x)
Assim fn(x) converge para f(x) para todo x, ou seja, há convergência pontual.

Passo 3

Para o recíproco, suponha que fnto f pontualmente. Queremos mostrar que f é contínua em um ponto arbitrário x0. Defina
xn=x0-tfrac1n
Então
fn(xn) =f!l(xn+tfrac1nr) =f(x0) para todo n
Como há convergência pontual, também
limntoinfty fn(xn) =limntoinfty f(xn) =f(x0)
Mas xnto x0, e f(xn)to f(x0) diz exatamente que f é contínua em x0.

Passo 4

Agora parte (b), direção “ Rightarrow”. Suponha que f seja uniformemente contínua. Dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|s-t|<de<a implies |f(s)-f(t)|<varepsilon
Como tfrac1nto0, escolhemos N com tfrac1N<de<a. Então, para todo n>= N e todo x,
|fn(x)-f(x)| =l|f(x+tfrac1n)-f(x)r| <varepsilon
Isso mostra supx|fn(x)-f(x)|<varepsilon para n>= N, ou seja, convergência uniforme.

Passo 5

Para “ Leftarrow”, suponha que fnto f uniformemente. Então
supxinR l|f(x+tfrac1n)-f(x)r| = supx|fn(x)-f(x)| ;xrightarrow[ntoinfty];0
Dado varepsilon>0, escolha N tal que, para n>= N,
supxl|f(x+tfrac1n)-f(x)r|<varepsilon
Seja de<a=tfrac1N. Então, sempre que |h|<de<a, existe n>= N com |h|<=tfrac1n, e portanto, para todo x,
|f(x+h)-f(x)| <= supyl|f(y+tfrac1n)-f(y)r| <varepsilon
Isso prova que f é uniformemente contínua em R.

Resposta

a) fn converge pontualmente para f se, e somente se, f é contínua em R.
b) fn converge uniformemente para f se, e somente se, f é uniformemente contínua em R.

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