Verifique o tipo de convergência (pontual ou uniforme) das sequências de funções abaixo nos domínios D indicados:
fn(x)=n ln (1+1n x), D=[a, b] (2,5)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência de funções
fn(x)=n ln!l(1+1n xr)
no domínio D=[a,b] com 0<a<b.
O conteúdo é convergência pontual e uniforme de sequências de funções reais. Vamos primeiro achar o limite pontual e depois verificar se a diferença fn(x)-f(x) tende a zero uniformemente em D.

Passo 2

Calcular o limite pontual
limntoinftyfn(x) =limntoinftynln!l(1+1n xr)
Faça y=n x; então ytoinfty e
nln!l(1+1n xr) =yxln!l(1+1yr)
Como limytoinftyyln(1+1/y)=1, concluímos
limntoinftyfn(x)=1x

Passo 3

Verificar convergência uniforme mostrando que
supxin[a,b]l|fn(x)-tfrac1xr|to0
Use a desigualdade para y>0:
y - y^2<=ln(1+y)<= y
Tomando y=tfrac1nx obtemos
nl(tfrac1nx-tfrac1n^2x^2r) <= nln!l(1+tfrac1nxr) <= ncdottfrac1nx,
ou seja
1x-1n x^2 <= fn(x)<=1x
Logo
0<=1x-fn(x)<=1n x^2 <=1n a^2 forall xin[a,b]
Isto mostra que
supxin[a,b]l|fn(x)-tfrac1xr| <=1n a^2to0,
ou seja, a convergência é uniforme em D.

Resposta

A sequência fn(x) converge pontualmente a
f(x)=1x
e essa convergência é uniforme em [a,b].

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