Questão 17. Determine a derivada d yd x de cada uma das funções dadas abaixo:
integral0^y exp (t) d t+integral0^x sin (t) d t

Passo 1

Temos a relação implícita
integral0^y e^t dt + integral0^x sin t dt = C
Para encontrar dydx, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, o primeiro termo satisfaz
ddxintegral0^y(x) e^t dt = e^y(x)dydx,
e o segundo termo satisfaz
ddxintegral0^x sin t dt = sin x

Passo 3

A derivada do lado direito (constante C) é zero, logo
e^y dydx + sin x = 0

Passo 4

Isolando dydx, obtemos
dydx = -sin xe^y = -e^-ysin x

Resposta

dydx = -e^-y,sin x

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