Calcule todas as determinações das seguintes potências.
a)
a)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular todas as determinações da potência complexa
.
Informações relevantes que vêm do enunciado: o número base é e o expoente é
. Queremos todas as determinações (isto é, todas as possíveis valores devido à multivalência do logaritmo complexo).
Informações relevantes que vêm do enunciado: o número base é
Passo 2
Conceito-chave que precisamos: para números complexos
e
define-se
onde
é o logaritmo complexo multivalorado. As determinações de
são
com
. Aqui
é o módulo de
e
é uma das arguições (o argumento principal). Isso explica de onde vem a multivalência:
pode mudar por
.
Passo 3
Vamos obter o módulo e um argumento de
. Primeiro o módulo:
Para o argumento, note que a parte real e imaginária são iguais e positivas, então o ponto está na reta
no primeiro quadrante, logo um argumento conveniente é
As demais arguições são
com
.
Passo 4
Agora escrevemos as determinações do logaritmo de
usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo
e
obtemos
Explicando:
.
Passo 5
Multiplicamos o logaritmo por
(porque o expoente é
):
Como
, isso vira
Passo 6
Agora aplicamos a exponencial para obter
:
Podemos também escrever em forma cartesiana (usando Euler
):
Isto mostra claramente todas as determinações: a parte real e imaginária têm o mesmo fator de decaimento
, enquanto o ângulo interno é
(fixo).
Passo 7
Comentário prático e valor principal: a determinação principal corresponde a
, ou seja
como valor principal. As demais determinações são obtidas multiplicando esse valor por
,
.