Calcule todas as determinações das seguintes potências.
a) (1+i)^{i}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular todas as determinações da potência complexa (1+i)^{i}.
Informações relevantes que vêm do enunciado: o número base é 1+i e o expoente é i. Queremos todas as determinações (isto é, todas as possíveis valores devido à multivalência do logaritmo complexo).

Passo 2

Conceito-chave que precisamos: para números complexos z\neq0 e w define-se
z^{w} = e^{\,w\Log z},
onde \Log z é o logaritmo complexo multivalorado. As determinações de \Log z são
\Log z = \ln|z| + i(\Arg z + 2\pi k),
com k\in\mathbb{Z}. Aqui |z| é o módulo de z e \Arg z é uma das arguições (o argumento principal). Isso explica de onde vem a multivalência: \Arg z pode mudar por 2\pi k.

Passo 3

Vamos obter o módulo e um argumento de 1+i. Primeiro o módulo:
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Para o argumento, note que a parte real e imaginária são iguais e positivas, então o ponto está na reta y=x no primeiro quadrante, logo um argumento conveniente é
\Arg(1+i)=\tfrac{\pi}{4}.
As demais arguições são \tfrac{\pi}{4}+2\pi k com k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora escrevemos as determinações do logaritmo de 1+i usando a fórmula do Passo 2:
\Log(1+i)=\ln|1+i| + i\big(\Arg(1+i)+2\pi k\big)
Substituindo |1+i|=\sqrt{2} e \Arg(1+i)=\tfrac{\pi}{4} obtemos
\Log(1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\big(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\big),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicando: \ln|1+i|=\ln(\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 5

Multiplicamos o logaritmo por i (porque o expoente é i):
i\,\Log(1+i)=i\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right)+i\cdot i\big(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\big).
Como i\cdot i=-1, isso vira
i\,\Log(1+i)=-\big(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\big)+i\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right).

Passo 6

Agora aplicamos a exponencial para obter (1+i)^{i}:
(1+i)^{i}=e^{\,i\Log(1+i)}=e^{-\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\;e^{\,i\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right)},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Podemos também escrever em forma cartesiana (usando Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta):
(1+i)^{i}=e^{-\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\Big(\cos\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)+i\sin\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)\Big),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto mostra claramente todas as determinações: a parte real e imaginária têm o mesmo fator de decaimento e^{-(\pi/4+2\pi k)}, enquanto o ângulo interno é \tfrac{1}{2}\ln 2 (fixo).

Passo 7

Comentário prático e valor principal: a determinação principal corresponde a k=0, ou seja
(1+i)^{i}=e^{-\tfrac{\pi}{4}}\,e^{\,i\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right)}
como valor principal. As demais determinações são obtidas multiplicando esse valor por e^{-2\pi k}, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

(1+i)^{i}=e^{-\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\right)}e^{\,i\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right)}=e^{-\left(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\right)}\Big(\cos\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)+i\sin\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)\Big),\quad k\in\mathbb{Z}.

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