Calcule todas as
- potências de
quando:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular todas as
-potências de
quando
e
. Isso envolve trabalhar com números complexos e entender como elevar um número complexo a uma potência complexa. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos, a definição de logaritmo complexo e a fórmula de exponenciação para números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma polar. Lembrando que um número complexo na forma polar é representado como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Aqui,
. Sabemos que
pode ser escrito como
(já que
). Então, temos:
Portanto, na forma polar,
.
Passo 3
Agora, vamos considerar
. Para elevar um número complexo a uma potência complexa, usamos a fórmula:
Aqui,
é o logaritmo de um número complexo, que é multivalorado. Isso significa que existem múltiplas soluções para
, diferindo em múltiplos inteiros de
no argumento.
Passo 4
Vamos calcular
. Sabendo que
, temos:
Aqui,
representa qualquer inteiro, devido à natureza multivalorada do logaritmo complexo.
Passo 5
Substituindo
na fórmula de
:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 6
Multiplicando
pelos termos dentro do parêntese:
Sabendo que
, temos:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Podemos separar a expressão em parte real e imaginária:
Sabemos que
, então:
Resposta
Todas as
-potências de
são dadas por: