Calcule todas as lambda - potências de z quando:
z=i e^pi e lambda=i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular todas as lambda-potências de z quando z = i e^pi e lambda = i. Isso envolve trabalhar com números complexos e entender como elevar um número complexo a uma potência complexa. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos, a definição de logaritmo complexo e a fórmula de exponenciação para números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo z = i e^pi na forma polar. Lembrando que um número complexo na forma polar é representado como z = r e^itheta, onde r é o módulo e theta é o argumento.
Aqui, z = i e^pi = e^pi cdot i. Sabemos que i pode ser escrito como e^ipi2 (já que e^itheta = costheta + isintheta). Então, temos:
z = e^pi cdot e^ipi2 = e^pi + ipi2
Portanto, na forma polar, z = e^pi + ipi2.

Passo 3

Agora, vamos considerar lambda = i. Para elevar um número complexo a uma potência complexa, usamos a fórmula:
z^lambda = e^lambda cdot ln(z)
Aqui, ln(z) é o logaritmo de um número complexo, que é multivalorado. Isso significa que existem múltiplas soluções para z^lambda, diferindo em múltiplos inteiros de 2pi i no argumento.

Passo 4

Vamos calcular ln(z). Sabendo que z = e^pi + ipi2, temos:
ln(z) = pi + ipi2 + 2pi i k, k in Z
Aqui, k representa qualquer inteiro, devido à natureza multivalorada do logaritmo complexo.

Passo 5

Substituindo ln(z) na fórmula de z^lambda:
z^lambda = e^i cdot (pi + ipi2 + 2pi i k)
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 6

Multiplicando i pelos termos dentro do parêntese:
i cdot (pi + ipi2 + 2pi i k) = ipi + i^2 pi2 + i^2 2pi k
Sabendo que i^2 = -1, temos:
ipi - pi2 - 2pi k
Então, a expressão fica:
z^lambda = e^ -pi2 - 2pi k + ipi

Passo 7

Podemos separar a expressão em parte real e imaginária:
z^lambda = e^ -pi2 - 2pi k cdot e^ipi
Sabemos que e^ipi = -1, então:
z^lambda = -e^ -pi2 - 2pi k

Resposta

Todas as lambda-potências de z são dadas por:
z^lambda = -e^ -pi2 - 2pi k , k in Z

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