Encontre a derivada das funções.
f(z)=(2+z^2)^7.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(z) = (2+z2)7; vamos usar o conceito de derivada de uma função composta, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos uma função interna u(z)=2+z^2 e, assim, f(z)=u(z)^7. Vamos primeiro anotar as derivadas separadas.

Passo 3

Derivada da função externa u^7 em relação a u:
ddul(u^7r)=7u^6

Passo 4

Derivada da função interna u(z)=2+z^2 em relação a z:
dudz=2z

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia: f’(z)= (d/du)[u^7]·(du/dz). Substituindo u=2+z^2 e as derivadas:
$$
f’(z)=7(2+z2)6\cdot2z$$

Passo 6

Por fim, simplificamos o coeficiente:
$$
f’(z)=14z(2+z2)6$$

Resposta

f'(z)=14z(2+z^2)^6

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