Sejam
e
constantes complexas. Use a definição de limites para provar que:
.
Passo 1
O exercício pede pra mostrar que, usando a definição de limite em "+"¹, quando z se aproxima de 1−i a função f(z)=x+i(2x+y) tende a 1+i.
Vamos anotar z=x+iy e o ponto alvo z₀=1−i, logo x→1 e y→−1. Queremos: dado ε>0, achar δ>0 tal que |z−z₀|<δ implique |f(z)−(1+i)|<ε.
Vamos anotar z=x+iy e o ponto alvo z₀=1−i, logo x→1 e y→−1. Queremos: dado ε>0, achar δ>0 tal que |z−z₀|<δ implique |f(z)−(1+i)|<ε.
Passo 2
Calculemos a diferença:
Reescrevendo 2x+y−1 em termos de (x−1) e (y+1):
Então
Passo 3
e pelo triângulo e propriedades de módulo temos:
Passo 4
Mas |z−z₀|=|x-1+i(y+1)|=\sqrt{(x-1)2+(y+1)2} garante |x-1|≤|z−z₀| e |y+1|≤|z−z₀|. Logo
Passo 5
Basta então escolher δ=min(1,ε/4). Se |z−z₀|<δ então
Resposta
1 + i