Sejam a, b e c constantes complexas. Use a definição de limites para provar que:
lim z 1-i[x+i(2 x+y)]=1+i (z=x+i y).

Passo 1

O exercício pede pra mostrar que, usando a definição de limite em "+"¹, quando z se aproxima de 1−i a função f(z)=x+i(2x+y) tende a 1+i.
Vamos anotar z=x+iy e o ponto alvo z₀=1−i, logo x→1 e y→−1. Queremos: dado ε>0, achar δ>0 tal que |z−z₀|<δ implique |f(z)−(1+i)|<ε.

Passo 2

Calculemos a diferença:
f(z)-(1+i)=l(x+i(2x+y)r)-(1+i)=(x-1)+il(2x+y-1r)
Reescrevendo 2x+y−1 em termos de (x−1) e (y+1):
2x+y-1=2(x-1)+(y+1)
Então
|f(z)-(1+i)|=| (x-1)+i[2(x-1)+(y+1)] |

Passo 3

e pelo triângulo e propriedades de módulo temos:
|f(z)-(1+i)|<= |x-1|+|2(x-1)+(y+1)|<= |x-1|+2|x-1|+|y+1|=3|x-1|+|y+1|

Passo 4

Mas |z−z₀|=|x-1+i(y+1)|=\sqrt{(x-1)2+(y+1)2} garante |x-1|≤|z−z₀| e |y+1|≤|z−z₀|. Logo
|f(z)-(1+i)|<= 3|z-z₀|+|z-z₀|=4|z-z₀|

Passo 5

Basta então escolher δ=min(1,ε/4). Se |z−z₀|<δ então
|f(z)-(1+i)|<=4|z-z₀|<4δ<= ε, o que prova o limite.

Resposta

1 + i

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