Calcule todas as matrizes
, de ordem 2, tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as matrizes
(ou em outro corpo, mas vamos supor
) tais que
O conteúdo necessário é: escrever
em componentes, calcular
por entradas e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Escrevemos
Então
Impor
dá o sistema
Passo 3
Das primeiras e últimas equações tiramos
Das equações do meio temos
Passo 4
Analisamos dois casos:
Caso A:
p+sneq 0 .
Entãoq=0 e
r=0 . Daí
qr=0 , e
p^2+qr=0 força
p^2=0 , logo
p=0 . Como
s=pm p , temos
s=0 . Isso dá a matriz nula
X=0&00&0
Então
Caso B:
p+s=0 .
Entãos=-p . As duas equações do meio são satisfeitas automaticamente, e resta
Então
Passo 5
Portanto, todas as soluções são:
incluindo o caso especial
,
que permite a matriz nula ou matrizes de posto 1 nilpotentes.