Calcule todas as matrizes X, de ordem 2, tais que X^2=02.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes Xin M2(R) (ou em outro corpo, mas vamos supor R) tais que
X^2=02
O conteúdo necessário é: escrever X em componentes, calcular X^2 por entradas e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Escrevemos
Então
Impor dá o sistema

Passo 3

Das primeiras e últimas equações tiramos
p^2+qr=0 e s^2+qr=0 ;Longrightarrow; p^2=s^2 ;Longrightarrow; s=pm p
Das equações do meio temos
q(p+s)=0 e r(p+s)=0

Passo 4

Analisamos dois casos:
Caso A: p+sneq 0.
Então q=0 e r=0. Daí qr=0, e p^2+qr=0 força p^2=0, logo p=0. Como s=pm p, temos s=0. Isso dá a matriz nula
X=0&00&0
Caso B: p+s=0.
Então s=-p. As duas equações do meio são satisfeitas automaticamente, e resta
p^2+qr=0 ;Long<=ftrightarrow; qr=-p^2

Passo 5

Portanto, todas as soluções são:
incluindo o caso especial , que permite a matriz nula ou matrizes de posto 1 nilpotentes.

Resposta

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