Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
21 x+12 y=72
21 x+12 y=72
Passo 1
O problema pede para achar todas as soluções inteiras da equação diophantina linear
Aqui o conteúdo é o teorema de existência e o método geral para resolver equações do tipo
. Vamos precisar calcular o máximo divisor comum de
e
, verificar se ele divide
e, em seguida, obter uma solução particular e a forma da solução geral.
Passo 2
Calcule o máximo divisor comum
Pelo algoritmo de Euclides temos
logo
. Como
divide
, existe pelo menos uma solução inteira.
Passo 3
Divida toda a equação por
para simplificar os coeficientes:
Passo 4
Encontre uma solução particular
de
. Por exemplo, tomando
obtemos
Assim,
é uma solução particular.
Passo 5
Pela teoria das equações diofantinas, todas as soluções vêm da fórmula
onde aqui
,
e
. Substituindo
e os valores de
, fica
Resposta
Todas as soluções inteiras de
são