Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
21 x+12 y=72

Passo 1

O problema pede para achar todas as soluções inteiras da equação diophantina linear
21x + 12y = 72
Aqui o conteúdo é o teorema de existência e o método geral para resolver equações do tipo ax + by = c. Vamos precisar calcular o máximo divisor comum de 21 e 12, verificar se ele divide 72 e, em seguida, obter uma solução particular e a forma da solução geral.

Passo 2

Calcule o máximo divisor comum
d = \gcd(21,12).
Pelo algoritmo de Euclides temos
21 = 12 \cdot 1 + 9,\quad 12 = 9 \cdot 1 + 3,\quad 9 = 3 \cdot 3 + 0,
logo d = 3. Como 3 divide 72, existe pelo menos uma solução inteira.

Passo 3

Divida toda a equação por d=3 para simplificar os coeficientes:
\frac{21}{3}x + \frac{12}{3}y = \frac{72}{3} \quad\Longrightarrow\quad 7x + 4y = 24.

Passo 4

Encontre uma solução particular (x_0,y_0) de 7x+4y=24. Por exemplo, tomando x_0 = 0 obtemos
7\cdot 0 + 4y = 24 \quad\Longrightarrow\quad y = 6.
Assim, (x_0,y_0) = (0,6) é uma solução particular.

Passo 5

Pela teoria das equações diofantinas, todas as soluções vêm da fórmula
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t, \quad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t, \quad t\in\mathbb{Z},
onde aqui a=21, b=12 e d=3. Substituindo (x_0,y_0)=(0,6) e os valores de a,b,d, fica
x = 0 + \frac{12}{3}\,t = 4t, \quad y = 6 - \frac{21}{3}\,t = 6 - 7t, \quad t\in\mathbb{Z}.

Resposta

Todas as soluções inteiras de 21x+12y=72 são
(x,y) = (4t,\;6-7t), \qquad t\in\mathbb{Z}.

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