Dentre os números 23,31,51,53,63,67,71,77,91 e 95, quais são primos?

Passo 1

O enunciado dá a lista de números 23,31,51,53,63,67,71,77,91,95 e pede: dentre esses, quais são primos?
Informações relevantes fornecidas: os próprios números da lista acima. A tarefa é testar, para cada número, se ele é primo (tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo) ou composto.

Passo 2

O que é um número primo e como testar primalidade (explicação didática).
  • Definição: um número inteiro n>1 é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e n. Caso contrário é composto.
  • Estratégia prática (útil em prova): para verificar se n é primo, basta testar se ele é divisível por algum número primo p tal que p \le \sqrt{n}. Porque, se n=a\cdot b com 1<a\le b, então a \le \sqrt{n}. Logo se não existe divisor a menor ou igual a \sqrt{n}, não existe fator não trivial.
    Vou usar essa estratégia: para cada n da lista, testar divisibilidade por primos pequenos até \sqrt{n}.

Passo 3

Determinar quais primos precisamos testar. O maior número da lista é 95. Observações simples:
9^2 = 81,\qquad 10^2 = 100,
logo \sqrt{95} está entre 9 e 10. Portanto, para qualquer n\le 95 basta testar divisibilidade pelos primos menores ou iguais a 9, ou seja: 2,3,5,7. Esses quatro testes são suficientes para todos os números da lista.

Passo 4

Teste para 23.
  • Divisibilidade por 2: 23 é ímpar, logo não é divisível por 2.
  • Divisibilidade por 3: soma dos dígitos 2+3=5 não é múltiplo de 3, logo 3\nmid 23.
  • Divisibilidade por 5: último dígito é 3 (não é 0 nem 5), então 5\nmid 23.
  • Divisibilidade por 7: 7\cdot 3 = 21 e 23-21=2\neq 0, logo 7\nmid 23.
    Não encontramos divisor entre 2,3,5,7; portanto 23 é primo.

Passo 5

Teste para 31.
  • 31 é ímpar \Rightarrow 2\nmid 31.
  • Soma dos dígitos 3+1=4 não múltiplo de 3 \Rightarrow 3\nmid 31.
  • Último dígito 1 \Rightarrow 5\nmid 31.
  • 7\cdot 4 = 28, 31-28=3\neq 0 \Rightarrow 7\nmid 31.
    Nenhum divisor entre 2,3,5,7; logo 31 é primo.

Passo 6

Teste para 51.
  • 51 é ímpar \Rightarrow 2\nmid 51.
  • Soma dos dígitos 5+1=6 que é múltiplo de 3. Portanto 3\mid 51.
    De fato 51 = 3\cdot 17. Como achamos divisor 3, 51 é composto (não é primo).

Passo 7

Teste para 53.
  • 53 é ímpar \Rightarrow 2\nmid 53.
  • Soma dos dígitos 5+3=8 não múltiplo de 3 \Rightarrow 3\nmid 53.
  • Último dígito 3 \Rightarrow 5\nmid 53.
  • 7\cdot 7 = 49, 53-49=4\neq 0 \Rightarrow 7\nmid 53.
    Nenhum divisor entre 2,3,5,7; portanto 53 é primo.

Passo 8

Teste para 63.
  • 63 é ímpar \Rightarrow 2\nmid 63.
  • Soma dos dígitos 6+3=9 múltiplo de 3 \Rightarrow 3\mid 63.
    De fato 63 = 3\cdot 21 = 7\cdot 9. Então 63 é composto.

Passo 9

Teste para 67.
  • 67 é ímpar \Rightarrow 2\nmid 67.
  • Soma 6+7=13 não múltiplo de 3 \Rightarrow 3\nmid 67.
  • Último dígito 7 \Rightarrow 5\nmid 67.
  • 7\cdot 9 = 63, 67-63=4\neq 0 \Rightarrow 7\nmid 67.
    Nenhum divisor entre 2,3,5,7; assim 67 é primo.

Passo 10

Teste para 71.
  • 71 é ímpar \Rightarrow 2\nmid 71.
  • Soma 7+1=8 não múltiplo de 3 \Rightarrow 3\nmid 71.
  • Último dígito 1 \Rightarrow 5\nmid 71.
  • 7\cdot 10 = 70, 71-70=1\neq 0 \Rightarrow 7\nmid 71.
    Nenhum divisor entre 2,3,5,7; portanto 71 é primo.

Passo 11

Teste para 77.
  • Verificar 7: 7\cdot 11 = 77. Logo 7\mid 77.
    Assim 77 é composto (igual a 7\cdot 11).

Passo 12

Teste para 91.
  • Verificar 7: 7\cdot 13 = 91. Logo 7\mid 91.
    Portanto 91 é composto (igual a 7\cdot 13).

Passo 13

Teste para 95.
  • Último dígito é 5, regra de divisibilidade por 5 diz que qualquer número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. Logo 5\mid 95.
    De fato 95 = 5\cdot 19. Então 95 é composto.

Resposta

23
31
53
67
71

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