Calcule todos os valores de \boldsymbol{a} \in \mathbb{R} para que \frac{a+i}{2 a-i} seja real.
Escolha uma opção:
◯ a. a=\frac{\sqrt{2}}{2}
◯ b. a=0
◯ c. a= \pm \sqrt{2}
◯ d. a=-\frac{\sqrt{2}}{2}
◯ e. a= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de a\in\mathbb{R} tais que a expressão \dfrac{a+i}{2a-i} seja um número real. Informações dadas:
  • A variável a é real.
  • A expressão a analisar é \dfrac{a+i}{2a-i}.
  • Devemos escolher a(s) opção(ões) correta(s) entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Entender o que significa “ser real” no contexto de números complexos. Qualquer número complexo pode ser escrito como
x+iy,
onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária ( i^2=-1). Esse número é real exatamente quando a sua parte imaginária é zero, isto é, quando y=0. Portanto, para \dfrac{a+i}{2a-i} ser real, a parte imaginária do resultado deve ser zero.

Passo 3

Técnica prática para extrair parte real e imaginária: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2a-i é 2a+i. Multiplicar por \dfrac{2a+i}{2a+i} não altera o valor (desde que o denominador não seja zero), e transforma o denominador em um número real, facilitando a separação das partes real e imaginária.

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador por 2a+i:
\frac{a+i}{2a-i}=\frac{(a+i)(2a+i)}{(2a-i)(2a+i)}.
Calculemos o denominador primeiro:
(2a-i)(2a+i)=(2a)^2 - i^2 = 4a^2 - (-1)=4a^2+1.
Este denominador é sempre positivo para a\in\mathbb{R}, logo nunca é zero (portanto a expressão original está bem definida para todo a\in\mathbb{R}).

Passo 5

Agora expandimos o numerador detalhadamente:
(a+i)(2a+i)=a\cdot 2a + a\cdot i + i\cdot 2a + i\cdot i.
Calcule termo a termo:
a\cdot 2a = 2a^2, \qquad a\cdot i = ai, \qquad i\cdot 2a = 2ai, \qquad i\cdot i = i^2 = -1.
Somando tudo:
(a+i)(2a+i)=2a^2 + ai + 2ai -1 = 2a^2 -1 + 3ai.

Passo 6

Colocando numerador e denominador juntos:
\frac{a+i}{2a-i}=\frac{2a^2-1+3ai}{4a^2+1}.
Separando as partes real e imaginária (dividindo cada termo pelo denominador real):
\frac{a+i}{2a-i}=\frac{2a^2-1}{4a^2+1} \;+\; i\cdot\frac{3a}{4a^2+1}.
Aqui a parte imaginária é \dfrac{3a}{4a^2+1}. Para o número ser real, essa parte imaginária deve ser zero.

Passo 7

Resolver a condição da parte imaginária ser zero:
\frac{3a}{4a^2+1}=0.
Como o denominador 4a^2+1 é sempre positivo (nunca zero), a fração só será zero quando o numerador for zero, isto é quando
3a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.

Passo 8

Verificação rápida substituindo a=0:
\frac{0+i}{2\cdot 0 - i}=\frac{i}{-i}=-1,
que é de fato um número real. Portanto a=0 funciona e é a única solução real.

Resposta

b. a=0

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