Calcule todos os valores de
para que
seja real.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
tais que a expressão
seja um número real. Informações dadas:
- A variável
é real. - A expressão a analisar é
. - Devemos escolher a(s) opção(ões) correta(s) entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Entender o que significa “ser real” no contexto de números complexos. Qualquer número complexo pode ser escrito como
onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária (
). Esse número é real exatamente quando a sua parte imaginária é zero, isto é, quando
. Portanto, para
ser real, a parte imaginária do resultado deve ser zero.
Passo 3
Técnica prática para extrair parte real e imaginária: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Multiplicar por
não altera o valor (desde que o denominador não seja zero), e transforma o denominador em um número real, facilitando a separação das partes real e imaginária.
Passo 4
Multiplicando numerador e denominador por
:
Calculemos o denominador primeiro:
Este denominador é sempre positivo para
, logo nunca é zero (portanto a expressão original está bem definida para todo
).
Passo 5
Agora expandimos o numerador detalhadamente:
Calcule termo a termo:
Somando tudo:
Passo 6
Colocando numerador e denominador juntos:
Separando as partes real e imaginária (dividindo cada termo pelo denominador real):
Aqui a parte imaginária é
. Para o número ser real, essa parte imaginária deve ser zero.
Passo 7
Resolver a condição da parte imaginária ser zero:
Como o denominador
é sempre positivo (nunca zero), a fração só será zero quando o numerador for zero, isto é quando
Passo 8
Verificação rápida substituindo
:
que é de fato um número real. Portanto
funciona e é a única solução real.
Resposta
b.