Para todo
, quanto vale
?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b. i
◯ C. -1
◯ d. 1
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b. i
◯ C. -1
◯ d. 1
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado nos dá a expressão
para todo
. A pergunta é: qual é o valor dessa potência para qualquer
? As alternativas fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Lembrete básico e importantíssimo sobre potências de
. As potências iniciais de
(a unidade imaginária) são:
Como
, as potências de
se repetem a cada
expoentes: para todo inteiro
vale
Isso significa que, para determinar
, só precisamos do resto da divisão de
por
(ou seja,
módulo
). Se
com
, então
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso expoente
: precisamos calcular
. Usamos propriedades simples de congruência:
- Se um coeficiente é múltiplo de
, então o termo correspondente é módulo independentemente de .
Observe que
logo
e
. Portanto, para qualquer
,
Assim o expoente total satisfaz
Passo 4
Como o expoente é congruente a
módulo
, vale
Pelo passo 2 sabemos que
. Logo para todo
a potência vale
.
Resposta
(a)