Para todo n \in \mathbb{N}, quanto vale i^{1600 n^{2}+424 n+3} ?
Escolha uma opção:
◯ a. -i
◯ b. i
◯ C. -1
◯ d. 1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado nos dá a expressão
i^{1600 n^{2}+424 n+3}
para todo n\in\mathbb{N}. A pergunta é: qual é o valor dessa potência para qualquer n? As alternativas fornecidas são:
(a) -i
(b) i
(c) -1
(d) 1

Passo 2

Lembrete básico e importantíssimo sobre potências de i. As potências iniciais de i (a unidade imaginária) são:
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1.
Como i^{4}=1, as potências de i se repetem a cada 4 expoentes: para todo inteiro k vale
i^{k+4}=i^{k}.
Isso significa que, para determinar i^{m}, só precisamos do resto da divisão de m por 4 (ou seja, m módulo 4). Se m\equiv r\pmod{4} com r\in\{0,1,2,3\}, então i^{m}=i^{r}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso expoente m=1600 n^{2}+424 n+3: precisamos calcular m\pmod{4}. Usamos propriedades simples de congruência:
  • Se um coeficiente é múltiplo de 4, então o termo correspondente é 0 módulo 4 independentemente de n.
    Observe que
1600=4\cdot 400,\qquad 424=4\cdot 106,
logo 1600\equiv 0\pmod{4} e 424\equiv 0\pmod{4}. Portanto, para qualquer n\in\mathbb{N},
1600 n^{2}\equiv 0\pmod{4},\qquad 424 n\equiv 0\pmod{4}.
Assim o expoente total satisfaz
1600 n^{2}+424 n+3 \equiv 0+0+3 \equiv 3 \pmod{4}.

Passo 4

Como o expoente é congruente a 3 módulo 4, vale
i^{1600 n^{2}+424 n+3}=i^{3}.
Pelo passo 2 sabemos que i^{3}=-i. Logo para todo n\in\mathbb{N} a potência vale -i.

Resposta

(a) -i

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