Seja S a superfície definida por z=2+\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) Identifique a interseção de S com o plano z=k, quando k<2, k=2 e k>2;
(b) Identifique as interseções de S com os planos x z e y z;
(c) Faça o esboço de S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida por
z=2+\sqrt{x^{2}+y^{2}},
e pede três coisas:
  • (a) identificar a interseção de S com o plano z=k nos casos k<2, k=2 e k>2;
  • (b) identificar as interseções de S com os planos x z (ou seja, y=0) e y z (ou seja, x=0);
  • (c) fazer um esboço (descrever como é a superfície e como desenhá‑la).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função \sqrt{x^{2}+y^{2}} é sempre \ge 0.
  • Portanto z=2+\sqrt{x^{2}+y^{2}} implica z\ge 2.
  • As variáveis x,y são livres em \mathbb{R} (sujeitas à definição da raiz).

Passo 2

(a) Vamos encontrar a interseção com o plano z=k. Substituir z=k na equação de S
k = 2 + \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isolando a raiz:
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = k-2.
Agora usamos a propriedade básica da raiz quadrada: \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0. Isso nos dá os três casos pedidos.

Passo 3

(a) Caso k<2. Aqui k-2<0. Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0, a igualdade \sqrt{x^{2}+y^{2}}=k-2 não pode ocorrer para números reais. Conclusão: para k<2 a interseção é o conjunto vazio (nenhum ponto).

Passo 4

(a) Caso k=2. Aqui k-2=0. A igualdade fica
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0,
o que ocorre somente se x=0 e y=0. Então a interseção é o único ponto (0,0,2).

Passo 5

(a) Caso k>2. Aqui k-2>0. Podemos quadrar ambos os lados (sem introduzir soluções falsas porque ambos os lados são \ge0) e obter
x^{2}+y^{2}=(k-2)^{2}.
Isto é a equação de um círculo no plano z=k, centrado em (0,0,k) com raio r=k-2. Portanto, para k>2 a interseção é o círculo \{(x,y,k)\mid x^{2}+y^{2}=(k-2)^{2}\}.

Passo 6

(b) Interseção com o plano x z (isto é, y=0). Substituindo y=0 na equação de S:
z=2+\sqrt{x^{2}}=2+|x|.
Explicando: \sqrt{x^{2}}=|x|, que é igual a x se x\ge0 e a -x se x\le0. Assim a curva de interseção no plano y=0 é a curva em forma de “V” dada por z=2+|x|. Em termos de parâmetros, pode ser escrita como duas semi‑retas com vértice em (0,0,2):
\text{para }x\ge0:\quad (x,0,z)=(t,0,2+t),\\ t\ge0;
\text{para }x\le0:\quad (x,0,z)=( -t,0,2+t),\\ t\ge0.

Passo 7

(b) Interseção com o plano y z (isto é, x=0). Substituindo x=0 obtemos
z=2+\sqrt{y^{2}}=2+|y|.
Analogamente, é uma curva em “V” no plano x=0 com vértice em (0,0,2). Em parametrização:
\text{para }y\ge0:\quad (0,y,2+y),\qquad \text{para }y\le0:\quad (0,-y,2+y),
ou, mais simplesmente, z=2+|y| em x=0.

Passo 8

(c) Interpretação geométrica e esboço. Reescrevendo a equação de S:
z-2=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad (z-2)^{2}=x^{2}+y^{2},
com a restrição z-2\ge0 (já que a raiz é não negativa). A equação (z-2)^{2}=x^{2}+y^{2} é a equação de um cone duplo com vértice em (0,0,2) e eixo ao longo do eixo z; como tomamos z-2\ge0, mantemos apenas a parte superior desse cone (a “náppe” superior). É um cone circular reto porque a seção transversal horizontal (fixando z) é um círculo cujo raio cresce linearmente com z-2: para z=2+r o raio é r.

Passo 9

(c) Ângulo do cone e parâmetros práticos para desenhar. Do formato x^{2}+y^{2}=(z-2)^{2} segue que o raio r e a altura h=z-2 satisfazem r=h. Assim a geratriz forma um ângulo de 45^\circ com o eixo z (porque \tan\varphi = r/h = 1\Rightarrow \varphi=45^\circ). Uma parametrização conveniente é, usando coordenadas cilíndricas, tomar r\ge0, \theta\in[0,2\pi):
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=2+r.
Para esboçar na folha:
  • Desenhe os eixos z vertical e x,y horizontais.
  • Marque o vértice em (0,0,2).
  • Trace as linhas de interseção no plano x z e y z (duas retas formando um “V” com vértice em (0,0,2), inclinação 1 e -1).
  • Acrescente círculos horizontais de raio 1,2,3,\dots em alturas z=3,4,5,\dots para mostrar que a seção cresce linearmente.
  • Ligue suavemente as circunferências para formar o cone aberto para cima.

Resposta

(a) Para k<2: não há interseção (conjunto vazio).
(a) Para k=2: a interseção é o ponto (0,0,2).
(a) Para k>2: a interseção é o círculo \{(x,y,k)\mid x^{2}+y^{2}=(k-2)^{2}\}.
(b) Interseção com o plano x z ( y=0): curva z=2+|x| (V com vértice em (0,0,2)).
(b) Interseção com o plano y z ( x=0): curva z=2+|y| (V com vértice em (0,0,2)).
(c) S é a náppe superior do cone circular reto de vértice (0,0,2) e equação (z-2)^{2}=x^{2}+y^{2} com z\ge2; semiângulo 45^\circ.

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