Seja
a superfície definida por
.
(a) Identifique a interseção de
com o plano
, quando
e
;
(b) Identifique as interseções de
com os planos
e
;
(c) Faça o esboço de
.
(a) Identifique a interseção de
(b) Identifique as interseções de
(c) Faça o esboço de
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida por
e pede três coisas:
- (a) identificar a interseção de
com o plano nos casos , e ; - (b) identificar as interseções de
com os planos (ou seja, ) e (ou seja, ); - (c) fazer um esboço (descrever como é a superfície e como desenhá‑la).
Informações relevantes do enunciado:
- A função
é sempre . - Portanto
implica . - As variáveis
são livres em (sujeitas à definição da raiz).
Passo 2
(a) Vamos encontrar a interseção com o plano
. Substituir
na equação de
dá
Isolando a raiz:
Agora usamos a propriedade básica da raiz quadrada:
. Isso nos dá os três casos pedidos.
Passo 3
(a) Caso
. Aqui
. Como
, a igualdade
não pode ocorrer para números reais. Conclusão: para
a interseção é o conjunto vazio (nenhum ponto).
Passo 4
(a) Caso
. Aqui
. A igualdade fica
o que ocorre somente se
e
. Então a interseção é o único ponto
.
Passo 5
(a) Caso
. Aqui
. Podemos quadrar ambos os lados (sem introduzir soluções falsas porque ambos os lados são
) e obter
Isto é a equação de um círculo no plano
, centrado em
com raio
. Portanto, para
a interseção é o círculo
.
Passo 6
(b) Interseção com o plano
(isto é,
). Substituindo
na equação de
:
Explicando:
, que é igual a
se
e a
se
. Assim a curva de interseção no plano
é a curva em forma de “V” dada por
. Em termos de parâmetros, pode ser escrita como duas semi‑retas com vértice em
:
Passo 7
(b) Interseção com o plano
(isto é,
). Substituindo
obtemos
Analogamente, é uma curva em “V” no plano
com vértice em
. Em parametrização:
ou, mais simplesmente,
em
.
Passo 8
(c) Interpretação geométrica e esboço. Reescrevendo a equação de
:
com a restrição
(já que a raiz é não negativa). A equação
é a equação de um cone duplo com vértice em
e eixo ao longo do eixo
; como tomamos
, mantemos apenas a parte superior desse cone (a “náppe” superior). É um cone circular reto porque a seção transversal horizontal (fixando
) é um círculo cujo raio cresce linearmente com
: para
o raio é
.
Passo 9
(c) Ângulo do cone e parâmetros práticos para desenhar. Do formato
segue que o raio
e a altura
satisfazem
. Assim a geratriz forma um ângulo de
com o eixo
(porque
). Uma parametrização conveniente é, usando coordenadas cilíndricas, tomar
,
:
Para esboçar na folha:
- Desenhe os eixos
vertical e horizontais. - Marque o vértice em
. - Trace as linhas de interseção no plano
e (duas retas formando um “V” com vértice em , inclinação e ). - Acrescente círculos horizontais de raio
em alturas para mostrar que a seção cresce linearmente. - Ligue suavemente as circunferências para formar o cone aberto para cima.
Resposta
(a) Para
: não há interseção (conjunto vazio).
(a) Para : a interseção é o ponto
.
(a) Para : a interseção é o círculo
.
(b) Interseção com o plano (
): curva
(V com vértice em
).
(b) Interseção com o plano (
): curva
(V com vértice em
).
(c) é a náppe superior do cone circular reto de vértice
e equação
com
; semiângulo
.
(a) Para
(a) Para
(b) Interseção com o plano
(b) Interseção com o plano
(c)