9.2 Calcule todos os valores possíveis z_{n} de (1+i)^{1 / 7}. Dê sua resposta na forma z_{n}=r_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_{n}}, onde os r_{n} s e \theta_{n} s devem ser explicitados.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as sete raízes de (1+i), ou seja, calcular
z_n = (1+i)^{1/7}\,,\quad n=0,1,\dots,6.
O conteúdo é o de raízes de números complexos: escrever 1+i em forma exponencial e aplicar a fórmula de De Moivre para raízes.

Passo 2

Primeiro, achamos o módulo e o argumento de 1+i.
O módulo é
|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
O argumento principal é
\arg(1+i) = \frac{\pi}{4},
mas, levando em conta a periodicidade, \arg(1+i) = \frac{\pi}{4} + 2\pi m, com m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Pela fórmula das k-ésimas raízes de um número complexo, as soluções são
z_n = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{1/7}\exp\!\Bigl(i\,\frac{\tfrac{\pi}{4} + 2\pi n}{7}\Bigr) \quad\text{para }n=0,1,\dots,6.

Passo 4

Note que
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{1/7} = 2^{1/14}, \qquad \frac{\tfrac{\pi}{4} + 2\pi n}{7} = \frac{\pi}{28} + \frac{2\pi n}{7}.

Resposta

z_n = 2^{1/14}\,e^{\,i\!\bigl(\frac{\pi}{28} + \frac{2\pi n}{7}\bigr)}, \quad n = 0,1,2,3,4,5,6.

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