1. \int\left(4 \operatorname{cosec} x \operatorname{cotg} x+2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int\bigl(4\,\csc x\,\cot x + 2\,\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx.
Para isso, vamos usar antiderivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\,\cot x e \frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int\bigl(4\,\csc x\,\cot x + 2\,\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx = 4\int \csc x\,\cot x\,dx \;+\; 2\int \operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Na primeira parcela, como \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\,\cot x, temos
\int \csc x\,\cot x\,dx = -\csc x + C_1,
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4\int \csc x\,\cot x\,dx = -4\,\csc x + C_2.

Passo 4

Na segunda parcela, usando \frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^2 x, obtemos
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x + C_3,
e portanto
2\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = 2\,\tan x + C_4.

Passo 5

Somando os resultados e unificando as constantes C_2 e C_4 numa única constante C, temos
\int\bigl(4\,\csc x\,\cot x + 2\,\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx = -4\,\csc x + 2\,\tan x + C.

Resposta

-4\,\csc x + 2\,\tan x + C

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