Encontre uma expressão cartesiana e esboce as superfícies dadas por :
\sigma(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), u \geq 0, v>0 e u+v \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá uma parametrização
\sigma(u,v)=(u,v,1-u^2)
com restrições
u\ge0,\quad v>0,\quad u+v\le1.
O objetivo é (1) encontrar a forma cartesiana dessa superfície e (2) esboçar o trecho correspondente.

Passo 2

Identificamos as coordenadas cartesianas
x=u,\quad y=v,\quad z=1-u^2.
Basta eliminar o parâmetro u escrevendo u=x e obter
z=1-x^2.

Passo 3

Traduzindo o domínio em (x,y):
x\ge0,\quad y>0,\quad x+y\le1.
Portanto o trecho da superfície é dado por
z=1-x^2,
sobre o triângulo no plano xy definido por x\ge0, y>0 e x+y\le1.

Passo 4

Esse objeto é um cilindro parabólico (a parábola z=1-x^2 extrudada ao longo do eixo y). O esboço consiste em:
– projetar no plano xy o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1) (aberto em y=0),
– para cada x nesse triângulo desenhar a curva parabólica z=1-x^2 paralela ao eixo y.

Resposta

A forma cartesiana é
z=1-x^2,
com x\ge0, y>0 e x+y\le1.
O esboço é o trecho do cilindro parabólico z=1-x^2 limitado pelo triângulo x\ge0,\;y>0,\;x+y\le1 no plano xy.

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