Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão:
e^z-1=-i e^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ e^{z-1} = -i e^{3} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de logaritmos e números complexos. Precisamos entender como manipular exponenciais com números complexos para encontrar todos os valores de $ z $ que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo os dois lados por $ e^{3} $:
e^3
Simplificando os expoentes:
e^z-1 = -i e^3 implies e^z-1 / e^3 = -i implies e^z-1 - 3 = -i

Passo 3

Agora, para resolver $ e^{z - 4} = -i $, vamos usar o logaritmo natural dos dois lados. Lembre-se que $ \ln(e^{w}) = w $, então:
e^z - 4 = -i

Passo 4

Precisamos calcular $ \ln(-i) $. Para números complexos, o logaritmo é definido como:
ln(-i)
Aqui, $ -i $ pode ser escrito na forma polar como $ e^{-i\pi/2} $, já que ele está no eixo negativo do eixo imaginário. Portanto:
ln(re^itheta) = ln r + itheta
onde $ k $ é qualquer número inteiro, devido à periodicidade do argumento.

Passo 5

Voltando à nossa equação $ z - 4 = \ln(-i) $, substituímos o valor encontrado:
z - 4 = ln(-i)
Agora, isolamos $ z $:
z - 4 = i(-pi2 + 2pi k)

Resposta

Os valores de $ z $ que satisfazem a equação são dados por:
z

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