Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ e^{z-1} = -i e^{3} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de logaritmos e números complexos. Precisamos entender como manipular exponenciais com números complexos para encontrar todos os valores de $ z $ que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo os dois lados por $ e^{3} $:
Simplificando os expoentes:
Passo 3
Agora, para resolver $ e^{z - 4} = -i $, vamos usar o logaritmo natural dos dois lados. Lembre-se que $ \ln(e^{w}) = w $, então:
Passo 4
Precisamos calcular $ \ln(-i) $. Para números complexos, o logaritmo é definido como:
Aqui, $ -i $ pode ser escrito na forma polar como $ e^{-i\pi/2} $, já que ele está no eixo negativo do eixo imaginário. Portanto:
onde $ k $ é qualquer número inteiro, devido à periodicidade do argumento.
Passo 5
Voltando à nossa equação $ z - 4 = \ln(-i) $, substituímos o valor encontrado:
Agora, isolamos $ z $:
Resposta
Os valores de $ z $ que satisfazem a equação são dados por: