Diferencie cada uma das seguintes funções:
y=z^5-e^z ln (z)

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar a função y = z^5 - e^z ln(z). Vamos usar a regra da potência para z^5 e a regra do produto (mais a regra da cadeia) para e^z ln(z).

Passo 2

Para z^5, aplicamos a regra da potência, que diz que ddzz^n = n z^n-1. Assim,
ddzl(z^5r) = 5z^4

Passo 3

Agora vamos derivar -e^z ln(z). Identificamos um produto de duas funções: u(z)=e^z e v(z)=ln(z). A regra do produto diz
ddz[u(z)v(z)] = u'(z)v(z) + u(z)v'(z)

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
u'(z) = ddze^z = e^z, v'(z) = ddzln(z) = 1z

Passo 5

Substituindo na regra do produto e lembrando do sinal negativo:
ddzl(-e^z ln(z)r) = -l(e^z ln(z) + e^z cdot 1zr) = -e^z ln(z) - e^zz

Passo 6

Por fim, somamos as duas partes para obter a derivada completa:
y' = 5z^4 - e^z ln(z) - e^zz

Resposta

y' = 5z^4 - e^z ln(z) - e^zz

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