Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso da função dada, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z).
f(z)=operatorname R e (z)

Passo 1

A função dada é f(z)=Re(z), ou seja, escrevendo z=x+iy temos f(z)=u(x,y)+iv(x,y) com u(x,y)=x e v(x,y)=0. O conteúdo é verificar as equações de Cauchy–Riemann para determinar se f é analítica e, em caso afirmativo, achar f′(z).

Passo 2

As equações de Cauchy–Riemann pedem que u_x = v_y e u_y = -v_x. Vamos calcular as derivadas parciais:
Temos u(x,y)=x, então u_x = ∂x/∂x = 1 e u_y = ∂x/∂y = 0. Como v(x,y)=0, v_x = 0 e v_y = 0.

Passo 3

Substituindo nas equações de Cauchy–Riemann: u_x = v_y ⇒ 1 = 0 (contradição) e u_y = -v_x ⇒ 0 = 0 (ok, mas a primeira falha).
Como não se satisfaz a primeira equação, f não é analítica em nenhum domínio aberto de ℂ, logo não existe f′(z).

Resposta

A função f(z)=Re(z) não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum domínio aberto, portanto não é analítica em ℂ e sua derivada f′(z) não existe.

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