Calcule a torção τ(t) da curva espacial: (Dica: use τ(t)=(v(t) times a(t)) cdot a^prime(t)|v(t) times a(t)|^2 )
Calcule a torção τ(t) da curva definida pelas equações paramétricas:
x=2+raiz2 cos t, y=1-sin t, z=3+sin t
em um ponto genérico t.

Passo 1

O enunciado pede a torção tau(t) de uma curva espacial dada por
x=2+raiz2cos t, y=1-sin t, z=3+sin t
e nos dá a fórmula
tau(t)=l(v(t)timesa(t)r)cdot a'(t)|v(t)timesa(t)|^2
Vamos, então, obter primeiro v(t), a(t) e a'(t).

Passo 2

Derivando sucessivamente o vetor posição r(t) obtemos
r(t)=(2+raiz2cos t,;1-sin t,;3+sin t),
v(t)=r'(t)=(-raiz2sin t,;- cos t,;cos t),
a(t)=r''(t)=(-raiz2cos t,;sin t,;- sin t),
a'(t)=r'''(t)=(raiz2sin t,;cos t,;- cos t)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial v(t)timesa(t):
v(t)times a(t) = i&j&k -raiz2sin t&-cos t&cos t -raiz2cos t&sin t&-sin t =(0,,-raiz2,,-raiz2)
Em seguida, o quadrado da norma é
|v(t)times a(t)|^2 =0^2+(-raiz2)^2+(-raiz2)^2 =4

Passo 4

Calculamos o produto escalar l(vtimesar)cdot a':
(vtimesa)cdot a' =0cdot(raiz2sin t)+(-raiz2)cdot(cos t)+(-raiz2)cdot(-cos t) =0

Passo 5

Substituindo na fórmula da torção, temos
tau(t) =04 =0
Isso também faz sentido geometricamente, pois a curva satisfaz y+z=4, ou seja, é plana, e toda curva plana tem torção nula.

Resposta

tau(t)=0

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