Uma curva no espaço tem curvatura constante kappa=325 e torção constante tau= 425. Determine:
(a) Que tipo de curva é essa?
(b) A parametrização r(t) da curva.

Passo 1

A questão diz que temos uma curva no espaço com curvatura constante
kappa=tfrac325
e torção constante
tau=tfrac425
O conteúdo aqui é a Geometria Diferencial de curvas: pela Teoria das curvas no espaço, se kappa e tau são constantes não nulas, a curva é uma hélice circular. Vamos usar a forma paramétrica canônica de uma hélice em função do parâmetro s que será o comprimento de arco.

Passo 2

Uma hélice circular pode ser parametrizada por comprimento de arco s assim:
r(s)=l(acos(mu s),;asin(mu s),;b,sr),
onde a condição de parametrização por comprimento de arco é
l| r'(s)r|=1;Longrightarrow;a^2mu^2+b^2=1
Para essa hélice, mostra-se que
kappa = a,mu^2, tau = b,mu

Passo 3

Substituímos os valores dados kappa=tfrac325 e tau=tfrac425 nas fórmulas
a,mu^2 = tfrac325, b,mu = tfrac425, a^2mu^2 + b^2 =1
Da segunda equação b=tfrac425mu. Da primeira a=tfrac325,mu^2. Na condição de arco de curva:
l(tfrac325,mu^2r)^2mu^2 ;+;l(tfrac425,mur)^2 =1 ;Longrightarrow; tfrac9625,mu^2+tfrac16625,mu^2=1 ;Longrightarrow; tfrac25625,mu^2=1 ;Longrightarrow; mu^2=tfrac125,
logo mu=tfrac15. Então
a=325/125=3, b=425/15=45

Passo 4

Substituindo a=3, b=tfrac45, mu=tfrac15 na parametrização por comprimento de arco, obtemos
r(s) =l(3cos(tfracs5),;3sin(tfracs5),;tfrac45,sr)
Como o parâmetro s já é o comprimento de arco, podemos renomeá-lo para t.

Resposta

(a) Trata-se de uma hélice circular.
(b) Uma parametrização conveniente é
r(t)=l(3cos(tfract5),;3sin(tfract5),;tfrac45,tr)

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