Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial . Nos problemas de 1 a 4, faça os passos descritos a seguir. Considere nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial dada.
(b) Faça o gráfico de em função de para para diversos valores de entre .
(c) Faça o gráfico de em função de para e para diversos valores de .
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda unidimensional numa corda de comprimento
onde
O conteúdo envolvido é a solução por separação de variáveis e expansão em série de senos (modos normais), com coeficientes dados pela projeção de .]
Passo 2
Aplicando separação de variáveis e impondo u(0,t)=u(L,t)=0 e partialtu(x,0)=0, obtemos a forma geral
Calculando a integral em três trechos e simplificando, verifica-se que somente os modos ímpares sobrevivem e que, para n ímpar,
bn =16n^2pi^2;sin!l(tfracnpi4r),
enquanto bn=0 para n par.
Passo 4
Tomando e , a solução final é
Passo 5
Para desenhar u(x,t) em função de x (fixando vários tin[0,20]) ou em função de t (fixando vários x), basta truncar a série em n<= N (por exemplo N=101), discretizar o eixo relevante e usar software como Python/Matplotlib ou MATLAB. Em Python, por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
L, a = 10, 1defu(x,t,N=101):
s = 0for n inrange(1,N,2):
bn = 16/(n**2*np.pi**2)*np.sin(n*np.pi/4)
s += bn * np.sin(n*np.pi*x/L)*np.cos(n*np.pi*a*t/L)
return s
# Para vários t, plot u(x,t) vs x em [0,10]; para vários x, plot u(x,t) vs t em [0,20].
Passo 6
Para a animação basta, num loop em t, recalcular u(x,t) num vetor de x e atualizar a curva. A cada iteração exiba o gráfico e use matplotlib.animation.FuncAnimation ou equivalente, cobrindo pelo menos um período T=2L/a=20.
Resposta
(a)
(b) Utilizando a função u(x,t) acima e truncando a série, obtemos curvas de perfil de em que oscilam entre a forma triangular inicial e sua inversa, para variando de 0 a 20.
(c) Para cada posição fixa , oscila harmonicamente com frequências múltiplas de , produzindo batimentos de forma periódica.
(d) A animação mostra um padrão de onda estacionária: o perfil da corda se deforma de triangular para plano e volta, com período .
(e) Em poucas palavras: a corda sustenta uma superposição de modos ímpares, formando ondas estacionárias que partem do formato triangular, achatam-se no meio do ciclo e reversam, retornando à forma inicial de modo periódico.