Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Nos problemas de 1 a 4, faça os passos descritos a seguir. Considere L=10 e a=1 nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento u(x, t) para a posição inicial f(x) dada.
(b) Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para 0 <= x <= 10 e para diversos valores de t entre t=0 e t=20.
(c) Faça o gráfico de u(x, t) em função de t para 0 <= t <= 20 e para diversos valores de x.
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em poucas frases.
f(x)= 4 x / L, & 0 & <= x & <= L / 4, 1, & L / 4 & <x & <3 L / 4, 4(L-x) / L, & 3 L / 4 & <= x & <= L

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda unidimensional numa corda de comprimento
onde
O conteúdo envolvido é a solução por separação de variáveis e expansão em série de senos (modos normais), com coeficientes dados pela projeção de .]

Passo 2

Aplicando separação de variáveis e impondo u(0,t)=u(L,t)=0 e partialtu(x,0)=0, obtemos a forma geral
u(x,t)=sumn=1^inftybn,sin!l(tfracnpi xLr),cos!l(tfracnpi a,tLr),
com
bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Calculando a integral em três trechos e simplificando, verifica-se que somente os modos ímpares sobrevivem e que, para n ímpar,
bn =16n^2pi^2;sin!l(tfracnpi4r),
enquanto bn=0 para n par.

Passo 4

Tomando e , a solução final é

Passo 5

Para desenhar u(x,t) em função de x (fixando vários tin[0,20]) ou em função de t (fixando vários x), basta truncar a série em n<= N (por exemplo N=101), discretizar o eixo relevante e usar software como Python/Matplotlib ou MATLAB. Em Python, por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

L, a = 10, 1
def u(x,t,N=101):
    s = 0
    for n in range(1,N,2):
        bn = 16/(n**2*np.pi**2)*np.sin(n*np.pi/4)
        s += bn * np.sin(n*np.pi*x/L)*np.cos(n*np.pi*a*t/L)
    return s

# Para vários t, plot u(x,t) vs x em [0,10]; para vários x, plot u(x,t) vs t em [0,20].

Passo 6

Para a animação basta, num loop em t, recalcular u(x,t) num vetor de x e atualizar a curva. A cada iteração exiba o gráfico e use matplotlib.animation.FuncAnimation ou equivalente, cobrindo pelo menos um período T=2L/a=20.

Resposta

(a)
(b) Utilizando a função u(x,t) acima e truncando a série, obtemos curvas de perfil de em que oscilam entre a forma triangular inicial e sua inversa, para variando de 0 a 20.
(c) Para cada posição fixa , oscila harmonicamente com frequências múltiplas de , produzindo batimentos de forma periódica.
(d) A animação mostra um padrão de onda estacionária: o perfil da corda se deforma de triangular para plano e volta, com período .
(e) Em poucas palavras: a corda sustenta uma superposição de modos ímpares, formando ondas estacionárias que partem do formato triangular, achatam-se no meio do ciclo e reversam, retornando à forma inicial de modo periódico.

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