Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
lcos ^2 x d yd x+y=1 y(0)=-3

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem linear
cos^2x,dydx + y = 1
com condição inicial y(0)=-3.
O conteúdo aqui é a resolução de equações lineares pelo método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por cos^2x (supondo cos xneq0):
dydx + 1cos^2x,y = 1cos^2x
Assim identificamos
P(x)=sec^2x e Q(x)=sec^2x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral sec^2x,dxr) = exp(tan x)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=e^tan x:
e^tan xdydx + e^tan xsec^2x,y = e^tan xsec^2x
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(e^tan xyr) = e^tan xdydx + e^tan xsec^2x,y

Passo 5

Integramos em x:
ddxl(e^tan xyr) = e^tan xsec^2x Longrightarrow e^tan xy = integral e^tan xsec^2x,dx = e^tan x + C

Passo 6

Isolamos y:
y(x) = 1 + C,e^-tan x
Aplicando a condição y(0)=-3, como tan0=0, obtemos
-3 = y(0) = 1 + C Longrightarrow C = -4

Resposta

y(x) = 1 - 4,e^-tan x

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