Calcule a torção τ(t) da curva espacial: (Dica: use τ(t)=(v(t) times a(t)) cdot a^prime(t)|v(t) times a(t)|^2 )
(b) r(t)=e^t(cos t i+sin t j+k)

Passo 1

O enunciado pede a torção tau(t) da curva
r(t)=e^tl(cos t,i+sin t,j+kr)
usando a fórmula
tau(t) = (v(t)timesa(t))cdota'(t) |v(t)timesa(t)|^2
Vamos precisar de v(t)=r'(t), a(t)=r''(t) e a'(t)=r'''(t), depois calcular produto vetorial, produto escalar e norma ao quadrado.

Passo 2

Calculemos as derivadas sucessivas. Definindo s=sin t, c=cos t, tem-se
v(t)=r'(t) =e^tl(c - s,;s + c,;1r),
a(t)=r''(t) =e^tl(-2s,;2c,;1r),
a'(t)=r'''(t) =e^tl(-2(s+c),;2(c - s),;1r)

Passo 3

Agora o produto vetorial vtimesa. Em forma de determinante,
vtimesa =e^2t i&j&k c - s & s + c & 1 -2s & 2c & 1 =e^2tl(s-c,;-(s+c),;2r)

Passo 4

O produto escalar (vtimesa)cdota' fica
l(e^2t(s-c,,-(s+c),2)r)cdotl(e^t(-2(s+c),2(c-s),1)r) = e^3tcdot 2

Passo 5

A norma ao quadrado de vtimesa é
|vtimesa|^2 =e^4tl((s-c)^2+(s+c)^2+2^2r) =e^4t(2+4) =6,e^4t

Passo 6

Finalmente,
tau(t) =2,e^3t6,e^4t =13e^-t

Resposta

tau(t)=13e^-t

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