Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
sujeita à condição inicial
.
O conteúdo aqui é uma equação linear na forma
O conteúdo aqui é uma equação linear na forma
que resolvemos usando fator integrante.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
(assumindo
) para colocá-la na forma padrão:
Note que
logo a equação vira
Passo 3
Calculamos o fator integrante
dado por
Como
, temos
Para nossa região de interesse (próxima a
) podemos tomar
com o sinal apropriado.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
que é exatamente a forma original. Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados obtemos
onde
é constante arbitrária. Portanto a solução geral é
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Como
, temos
Assim