Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
lsen x d yd x+(cos x) y=0 y(-pi / 2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
sin x,dydx + (cos x),y = 0
sujeita à condição inicial y(-pi/2)=1.
O conteúdo aqui é uma equação linear na forma
dydx + P(x),y = 0,
que resolvemos usando fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por sin x (assumindo sin xneq0) para colocá-la na forma padrão:
dydx + cos xsin x,y = 0
Note que
cos xsin x = cot x,
logo a equação vira
dydx + cot x ,y = 0

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) dado por
mu(x) = exp!l(integral cot x,dxr)
Como integral cot x,dx = lnlvertsin xrvert, temos
mu(x) = e^lnlvertsin xrvert = lvertsin xrvert
Para nossa região de interesse (próxima a x=-pi/2) podemos tomar mu(x)=sin x com o sinal apropriado.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=sin x:
sin x,dydx + sin xcdotcot x,y = 0 Longrightarrow sin x,dydx + cos x,y = 0,
que é exatamente a forma original. Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto sin xcdot y:
ddxl(sin x,yr) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados obtemos
sin x,y = C,
onde C é constante arbitrária. Portanto a solução geral é
y(x) = Csin x

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(-pi/2)=1. Como sin(-pi/2)=-1, temos
1 = yl(-tfracpi2r) = Csin(-pi/2) = C-1 Longrightarrow C = -1
Assim
y(x) = -1sin x = -csc x

Resposta

y(x) = -csc x

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