Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
lx d yd x+y=e^x y(1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x d yd x + y = e^x
com condição inicial y(1)=2. Aqui vamos aplicar o método de fator integrante para resolver uma EDO linear.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma padrão
d yd x + 1x,y = e^xx,
válida para xneq0.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 1x,dxr) = exp(ln|x|) = x,
considerando x>0 (pra incluir x=1).

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x obtemos
xd yd x + y = e^x,
e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto x,y, isto é,
ddxl(x,yr) = e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral e^x,dx = e^x + C,
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y = e^x + Cx

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=2:
2 = e^1 + C1 = e + C Longrightarrow C = 2 - e

Resposta

y(x) = e^x + 2 - ex

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