Calcule a torção τ(t) da curva espacial: (Dica: use τ(t)=(v(t) times a(t)) cdot a^prime(t)|v(t) times a(t)|^2 )
r(t)=e^t(cos t i+sin t j+k)

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=e^t(cos t,i+sin t,j+k)
e pede a torção tau(t) usando
tau(t) =l(v(t)timesa(t)r)cdota'(t) |v(t)timesa(t)|^2
O conteúdo é geometria de curvas no espaço, e precisamos calcular v=r', a=r'' e a'=r''', depois produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Calculamos as derivadas sucessivas:
v(t)=r'(t) =l(e^t(cos t-sin t),,e^t(sin t+cos t),,e^tr)
Derivando de novo,
a(t)=r''(t) =l(-2e^tsin t,,2e^tcos t,,e^tr)
E mais uma vez,
a'(t)=r'''(t) =l(-2e^t(sin t+cos t),,2e^t(cos t-sin t),,e^tr)

Passo 3

O produto vetorial dá
v(t)timesa(t) =e^2tl(sin t-cos t,,-(cos t+sin t),,2r)

Passo 4

O quadrado da norma é
|v(t)timesa(t)|^2 =e^4tl[(sin t-cos t)^2+(cos t+sin t)^2+2^2r] =6,e^4t

Passo 5

O numerador da fórmula é
l(vtimesar)cdota' =e^2t,e^tl[(sin t-cos t)(-2(sin t+cos t)) +(-(cos t+sin t))cdot2(cos t-sin t)+2cdot1r] =2,e^3t

Passo 6

Substituindo em
tau(t) =2,e^3t6,e^4t =13,e^t

Resposta

tau(t)=13,e^t

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