Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm de satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
O enunciado pede soluções em séries de potências para
em torno de . Vamos supor
calcular e , inserir na EDO, igualar coeficientes de e extrair a relação de recorrência.
Passo 2
Derivadas em séries de potências:
Substituindo em obtém-se
logo, para todo ,
Passo 3
Escolhemos dois conjuntos iniciais para gerar duas soluções lineares independentes.
Para : tome e . Da recorrência vem
Assim os quatro primeiros (e de fato todos os) coeficientes acima de são zero, e
Passo 4
Para : tome e . Da recorrência:
Logo os quatro primeiros termos são
Passo 5
O wronskiano em é
Como W(0)neq0, y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.
Passo 6
Da recorrência para y2 (com a1=1) temos indutivamente, para n>=1,
an=prodk=1^n-1l(-tfrac3k+1r) =(-3)^,n-1n!
Para y1 todos os an com n>=1 são zero. Portanto as duas séries em forma fechada são