Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm de satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime+3 y^prime=0, x0=0

Passo 1

O enunciado pede soluções em séries de potências para
y'' + 3y' = 0
em torno de x0=0. Vamos supor
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', inserir na EDO, igualar coeficientes de x^n e extrair a relação de recorrência.

Passo 2

Derivadas em séries de potências:
y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1 =sumn=0^infty (n+1),an+1,x^n,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2 =sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n
Substituindo em y''+3y'=0 obtém-se
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2+3(n+1),an+1r]x^n=0,
logo, para todo n>=0,
(n+2)(n+1),an+2+3(n+1),an+1=0 Longrightarrow an+2=-3n+2,an+1

Passo 3

Escolhemos dois conjuntos iniciais (a0,a1) para gerar duas soluções lineares independentes.
Para y1: tome a0=1 e a1=0. Da recorrência vem
a2=-tfrac32a1=0, a3=-tfrac33a2=0, a4=-tfrac34a3=0,ldots
Assim os quatro primeiros (e de fato todos os) coeficientes acima de n=0 são zero, e
y1(x)=1

Passo 4

Para y2: tome a0=0 e a1=1. Da recorrência:
a2=-tfrac32cdot1=-tfrac32, a3=-tfrac33,a2=tfrac32, a4=-tfrac34,a3=-tfrac98
Logo os quatro primeiros termos são
y2(x)=x-tfrac32x^2+tfrac32x^3-tfrac98x^4+cdots

Passo 5

O wronskiano em x=0 é
W[y1,y2](0) =det y1(0)&y2(0) y1'(0)&y2'(0) =det 1&0 0&1 =1neq0
Como W(0)neq0, y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 6

Da recorrência para y2 (com a1=1) temos indutivamente, para n>=1,
an=prodk=1^n-1l(-tfrac3k+1r) =(-3)^,n-1n!
Para y1 todos os an com n>=1 são zero. Portanto as duas séries em forma fechada são
y1(x)=1, y2(x)=sumn=1^infty(-3)^,n-1n!,x^n

Resposta

Relação de recorrência:
boxedan+2=-3n+2,an+1
Quatro primeiros termos:
boxedy1(x)=1, y2(x)=x-tfrac32x^2+tfrac32x^3-tfrac98x^4+cdots
Wronskiano em x=0:
boxedW[y1,y2](0)=1neq0,
logo solução fundamental. Termo geral:
boxedy1(x)=1, y2(x)=sumn=1^infty(-3)^,n-1n!,x^n

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