Calcule o torque produzido por uma força \vec{F}=2 \hat{i}+3 \hat{j} ( N ) aplicada no ponto \vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j} (m) em relação à origem.

Passo 1

O enunciado fornece a força e o ponto de aplicação (peguei estes dados do enunciado):
  • Força: \vec{F}=2\hat{i}+3\hat{j} (N).
  • Ponto de aplicação (vetor posição relativo à origem): \vec{r}=4\hat{i}+5\hat{j} (m).
O que o problema pede:
  • Calcular o torque (momento) dessa força em relação à origem, ou seja, encontrar \vec{\tau} correspondente.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O torque (ou momento) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e a força:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
  • Aqui, \vec{r} é o vetor que vai da origem até o ponto de aplicação da força (tem unidades de metro) e \vec{F} é a força aplicada (tem unidades de newton). O produto vetorial resulta em um vetor \vec{\tau} cuja direção é perpendicular ao plano determinado por \vec{r} e \vec{F} e cujo módulo mede a tendência de rotação (em N·m).
  • Em componentes cartesianas, o produto vetorial pode ser calculado por determinante:
\vec{\tau}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
  • Quando \vec{r} e \vec{F} estão no plano xy (ou seja, r_z=F_z=0), o torque só tem componente na direção z, dada por
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x,
e então
\vec{\tau}=\tau_z\,\hat{k}.

Passo 3

Identificação explícita das componentes (peguei estes valores do enunciado):
  • \;r_x=4,\; r_y=5,\; r_z=0 (m).
  • \;F_x=2,\; F_y=3,\; F_z=0 (N).

Passo 4

Aplicando a fórmula para a componente z do torque:
  • Substituindo em \tau_z = r_x F_y - r_y F_x,
\tau_z = 4\cdot 3 - 5 \cdot 2.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
4\cdot 3 = 12,
5\cdot 2 = 10,
\tau_z = 12 - 10 = 2.
Unidade: \tau_z está em newton-metro, ou seja, \tau_z=2\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 6

Interpretação do resultado (direção pelo sentido de rotação):
  • Como \tau_z é positivo, \vec{\tau} aponta na direção positiva de \hat{k} (para fora do plano xy), de acordo com a regra da mão direita. Em linguagem prática: a força tende a produzir um giro no sentido anti-horário visto a partir do eixo positivo z.

Resposta

\vec{\tau}=2\hat{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}

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