Uma força constante aplica um torque de 15 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} em uma roda por 3,0 \mathrm{~s}. Qual o impulso angular aplicado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Força constante aplica um torque de \tau = 15\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Tempo durante o qual esse torque é aplicado: \Delta t = 3{,}0\\ \mathrm{s}.
    O enunciado pede: qual o impulso angular aplicado?

Passo 2

Entender o que é impulso angular.
  • Impulso angular é a quantidade que mede o “efeito rotacional” aplicado por um torque durante um intervalo de tempo; é análogo ao impulso linear ( F\Delta t) mas para rotação.
  • Denotando impulso angular por J_{\theta}, a definição geral é a integral do torque no tempo:
J_{\theta}=\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\tau(t)\,dt.
Aqui \tau(t) é o torque (que, em geral, pode variar com o tempo) e dt é um elemento infinitesimal de tempo.

Passo 3

Simplificação para torque constante (caso deste problema).
  • Se o torque é constante no intervalo, ou seja \tau(t)=\tau (constante), a integral fica simples:
J_{\theta}=\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\tau\,dt=\tau\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}dt=\tau\,\Delta t.
  • Portanto, para torque constante a fórmula prática é
J_{\theta}=\tau\,\Delta t,
onde \tau é o torque (unidade \mathrm{N\cdot m}) e \Delta t é o tempo (unidade \mathrm{s}).

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números do enunciado.
  • Substituindo \tau=15\\ \mathrm{N\cdot m} e \Delta t=3{,}0\\ \mathrm{s} em J_{\theta}=\tau\,\Delta t:
J_{\theta}=15\cdot 3{,}0 = 45.
  • Escrevendo com unidades:
J_{\theta}=45\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s}.

Passo 5

Interpretação física e unidades (para fixar a ideia).
  • O impulso angular J_{\theta} é equal ao aumento do momento angular \Delta L causado pelo torque: \Delta L=J_{\theta}. Ou seja, esse torque aplicado por 3{,}0\\ \mathrm{s} aumenta o momento angular do sistema em 45\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s}.
  • Verificação das unidades: 1\\ \mathrm{N}=1\\ \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}, então
\mathrm{N\cdot m\cdot s}=(\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}})\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}=\mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}},
que são as unidades de momento angular, consistente.

Resposta

\,45\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s}

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