(0,2) Um bloco de massa M=50 \mathrm{~kg} está com velocidade constante sobre uma superfície plana. Não hâ atrito entre o bloco e a superfície. Num dado instante ele explode e se separa em dois pedaços O pedaço A tem massa 3 M / 4 e sua velocidade é \vec{v}_{A}=v_{A} \hat{x}=4 m / s \hat{x}. O pedaço B tem velocidade \vec{v}_{B}=v_{1} \sin \theta \hat{x}-v_{1} \cos \theta \hat{y}\left(v_{1}=\right. 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \theta=\pi / 3. Determine a velocidade do bloco antes de explodir.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade do bloco antes da explosão:
  • Massa total do bloco: M=50\\ \mathrm{kg}.
  • Não há atrito com a superfície (logo nenhuma força externa horizontal significativa durante a explosão).
  • Após a explosão o bloco separa-se em dois pedaços:
    • Pedaço A tem massa \displaystyle m_A=\frac{3M}{4} e velocidade \displaystyle \vec{v}_A=v_A\hat{x}=4\\ \mathrm{m/s}\,\hat{x}.
    • Pedaço B tem velocidade \displaystyle \vec{v}_B=v_1\sin\theta\,\hat{x}-v_1\cos\theta\,\hat{y} com \displaystyle v_1=16\\ \mathrm{m/s} e \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}.
  • O que se pede: a velocidade do bloco antes de explodir, ou seja \displaystyle \vec{v}_0 (vetorial).

Passo 2

Por que podemos resolver com conservação de quantidade de movimento?
  • A explosão é uma interação interna ao sistema (o bloco se divide), e não há forças externas horizontais relevantes (não há atrito). Portanto a quantidade de movimento (momento linear) total do sistema é conservada.
  • Definição de momento linear: para um corpo de massa m e velocidade \vec{v} o momento linear é \displaystyle \vec{p}=m\vec{v}.
  • Conservação vetorial: \displaystyle \vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}. Como é vetorial, podemos aplicar separadamente nas componentes x e y.

Passo 3

Calcular as massas dos pedaços em números:
m_A=\frac{3M}{4}=\frac{3\cdot 50}{4}=37{,}5\\ \mathrm{kg}.
A massa do pedaço B é
m_B=M-m_A=50-37{,}5=12{,}5\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Determinar as componentes de \vec{v}_B usando trigonometria:
  • \displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • \displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.
    Portanto
v_{B,x}=v_1\sin\theta=16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s},
v_{B,y}=-v_1\cos\theta=-16\cdot\frac{1}{2}=-8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Escrever a conservação do momento nas componentes x e y. Seja \displaystyle \vec{v}_0=v_{0x}\hat{x}+v_{0y}\hat{y}. Então
\text{componente }x:\quad M v_{0x}=m_A v_{A,x}+m_B v_{B,x},
\text{componente }y:\quad M v_{0y}=m_A v_{A,y}+m_B v_{B,y}.

Passo 6

Aplicar valores na equação para a componente x:
  • Sabemos v_{A,x}=4\\ \mathrm{m/s}, v_{B,x}=8\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
    Substituindo:
50\,v_{0x}=37{,}5\cdot 4 + 12{,}5\cdot 8\sqrt{3}.
Calcule os termos:
37{,}5\cdot 4=150,
12{,}5\cdot 8\sqrt{3}=100\sqrt{3}.
Logo
50\,v_{0x}=150+100\sqrt{3}.
Dividindo por 50:
v_{0x}=\frac{150+100\sqrt{3}}{50}=3+2\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora a componente y:
  • v_{A,y}=0, v_{B,y}=-8\\ \mathrm{m/s}.
    Substituindo:
50\,v_{0y}=37{,}5\cdot 0 + 12{,}5\cdot(-8)=-100.
Portanto
v_{0y}=\frac{-100}{50}=-2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Montar o vetor velocidade inicial:
\vec{v}_0=(3+2\sqrt{3})\hat{x}-2\hat{y}\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser um valor numérico aproximado, use \sqrt{3}\approx1{,}73205:
v_{0x}\approx 3+2\cdot 1{,}73205\approx 6{,}4641\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=-2{,}000\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Opcional — magnitude e direção:
  • Magnitude: \displaystyle |\vec{v}_0|=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=\sqrt{25+12\sqrt{3}}\approx 6{,}767\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção (ângulo medido a partir de +\hat{x}, positivo no sentido anti-horário):
\varphi=\arctan\!\left(\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-2}{3+2\sqrt{3}}\right)\approx -17{,}2^\circ.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_0=(3+2\sqrt{3})\hat{x}-2\hat{y}\\ \mathrm{m/s}
\displaystyle \vec{v}_0\approx 6{,}464\\ \hat{x}-2{,}000\\ \hat{y}\\ \mathrm{m/s}
\displaystyle |\vec{v}_0|=\sqrt{25+12\sqrt{3}}\approx 6{,}767\\ \mathrm{m/s}

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