Considere o cone parametrizado por
com
e
.
Se o cone representa uma lâmina fina e a densidade em cada ponto é dada por
, calcule a massa da lâmina para
.
Se o cone representa uma lâmina fina e a densidade em cada ponto é dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa de uma lâmina fina que é a superfície do cone definida pela parametrização
para
e
, usando densidade
. Vamos usar teoria de integrais de superfície: massa é
.
Passo 2
Substituímos a parametrização na densidade. Como em
temos
,
,
,) então
Passo 3
Calculamos o elemento de área
.
Temos
Temos
Passo 4
O produto vetorial dá magnitude
logo
Passo 5
Montamos a integral de massa:
Passo 6
Calculamos as integrais:
Passo 7
Portanto
Resposta
1250\pi\sqrt{2}