Considere o cone parametrizado por
varphi(t, alpha)=(t cos (alpha), t sen(alpha), t)
com t>0 e alpha in[0,2 pi].
Se o cone representa uma lâmina fina e a densidade em cada ponto é dada por f(x, y, z)=z(x^2+y^2), calcule a massa da lâmina para 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de uma lâmina fina que é a superfície do cone definida pela parametrização varphi(t,alpha)=(tcosalpha,,tsinalpha,,t) para 0 e 0<=alpha<=2pi, usando densidade f(x,y,z)=z(x^2+y^2). Vamos usar teoria de integrais de superfície: massa é integral duplaS f,dS.

Passo 2

Substituímos a parametrização na densidade. Como em varphi(t,alpha) temos x=tcosalpha, y=tsinalpha, z=t,) então
f(varphi(t,alpha))=tl((tcosalpha)^2+(tsinalpha)^2r)=t(t^2)=t^3

Passo 3

Calculamos o elemento de área dS=l|partialtvarphitimespartialalphavarphir|,dt,dalpha.
Temos
partialtvarphi=(cosalpha,,sinalpha,,1),partialalphavarphi=(-tsinalpha,,tcosalpha,,0)

Passo 4

O produto vetorial dá magnitude
|partialtvarphitimespartialalphavarphi|=traiz2,
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dS=traiz2,dt,dalpha

Passo 5

Montamos a integral de massa:
M=integral0^2piintegral0^5f(varphi(t,alpha)),|partialtvarphitimespartialalphavarphi|,dt,dalpha =integral0^2piintegral0^5t^3cdot traiz2,dt,dalpha =raiz2integral0^2pidalphaintegral0^5t^4,dt

Passo 6

Calculamos as integrais:
integral0^2pidalpha=2pi, integral0^5t^4,dt=5^55=5^4=625

Passo 7

Portanto
M=raiz2cdot2picdot625=1250piraiz2

Resposta

1250\pi\sqrt{2}

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