Calcule o trabalho integralC F cdot d gamma realizado pelo campo de força F numa partícula que se move ao longo da curva C, em que:
F(x, y)=(y^2, x). C é o segmento de reta que liga os pontos (-5,-3) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o trabalho realizado por um campo de força F(x, y) = (y^2, x) ao mover uma partícula ao longo de uma reta que liga os pontos (-5, -3) até (0, 2). O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais de linha em campos vetoriais, que nos permite calcular o trabalho feito por forças ao longo de caminhos específicos. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C, que é o segmento de reta entre (-5, -3) e (0, 2). A ideia é expressar x e y em função de um parâmetro t, que varia de 0 a 1.
A parametrização fica assim:
x(t) = -5 + 5t
y(t) = -3 + 5t
onde t in [0, 1].

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dgamma, que é o diferencial do vetor posição. Como x(t) e y(t) estão em função de t, derivamos cada um em relação a t:
dxdt = 5
dydt = 5
Então,
dgamma = (dxdt, dydt) dt = (5, 5) dt

Passo 4

Vamos substituir x(t) e y(t) na força F:
F(x(t), y(t)) = ( (y(t))^2, x(t) ) = ( (-3 + 5t)^2, -5 + 5t )
Agora, calculamos o produto escalar F cdot dgamma:
F cdot dgamma = ( (-3 + 5t)^2 ) cdot 5 + (-5 + 5t) cdot 5 = 5(-3 + 5t)^2 + 5(-5 + 5t)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, expande (-3 + 5t)^2:
(-3 + 5t)^2 = 9 - 30t + 25t^2
Multiplicando por 5:
5(-3 + 5t)^2 = 45 - 150t + 125t^2
Agora, multiplica 5(-5 + 5t):
5(-5 + 5t) = -25 + 25t
Somando tudo:
45 - 150t + 125t^2 - 25 + 25t = 20 - 125t + 125t^2
Agora, integramos de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (20 - 125t + 125t^2) dt = 20t - 1252t^2 + 1253t^3 |0^1
Substituindo:
20(1) - 1252(1)^2 + 1253(1)^3 = 20 - 62,5 + 41,6 = -0,83
Convertendo para fração:
-0,83 = -56

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é -dfrac56 unidades de trabalho.

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