Calcule o trabalho
realizado pelo campo de força
numa partícula que se move ao longo da curva
, em que:
.
é parametrizada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de força
quando uma partícula se move ao longo de uma curva
. A curva
está descrita pela parametrização
para
variando de
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial, que basicamente nos permite calcular o trabalho feito por um campo de força ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a integral de linha
representa o trabalho realizado pelo campo
ao mover a partícula ao longo da curva
. Para calcular isso, vamos substituir a parametrização da curva na expressão da integral.
Passo 3
Vamos escrever a parametrização
e calcular a derivada em relação a
, que é
. Assim:
Isso representa o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
da função
pela parametrização
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, substituímos esse produto escalar na integral de linha e integramos em relação a
de
a
:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição
. Então,
. Ajustando os limites de integração:
Quando
,
.
Quando
,
.
A integral fica:
Passo 8
Agora, integramos
em relação a
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força
ao longo da curva
é
unidades de trabalho.