Calcule o trabalho integralC F cdot d gamma realizado pelo campo de força F numa partícula que se move ao longo da curva C, em que:
F(x, y)=(x^2,-x y). C é parametrizada por gamma(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de força F(x, y) = (x^2, -xy) quando uma partícula se move ao longo de uma curva C. A curva C está descrita pela parametrização gamma(t) = (cos t, sin t) para t variando de 0 até pi2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial, que basicamente nos permite calcular o trabalho feito por um campo de força ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a integral de linha integralC F cdot dgamma representa o trabalho realizado pelo campo F ao mover a partícula ao longo da curva C. Para calcular isso, vamos substituir a parametrização da curva na expressão da integral.

Passo 3

Vamos escrever a parametrização gamma(t) e calcular a derivada em relação a t, que é dgamma/dt. Assim:
gamma(t) = (cos t, sin t)
dgammadt = (-sin t, cos t)
Isso representa o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos substituir x e y da função F(x, y) pela parametrização gamma(t):
F(gamma(t)) = ( (cos t)^2, -cos t cdot sin t ) = (cos^2 t, -cos t sin t)

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar F(gamma(t)) cdot dgammadt:
F(gamma(t)) cdot dgammadt = (cos^2 t)(-sin t) + (-cos t sin t)(cos t) = -cos^2 t sin t - cos^2 t sin t = -2 cos^2 t sin t

Passo 6

Agora, substituímos esse produto escalar na integral de linha e integramos em relação a t de 0 a pi2:
integralC F cdot dgamma = integral0^pi2 -2 cos^2 t sin t , dt

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição u = cos t. Então, du = -sin t , dt. Ajustando os limites de integração:
Quando t = 0, u = cos 0 = 1.
Quando t = pi2, u = cos pi2 = 0.
A integral fica:
integral1^0 -2 u^2 (-du) = integral0^1 2 u^2 du

Passo 8

Agora, integramos 2 u^2 em relação a u:
integral0^1 2 u^2 du = 2 [ u^33 ]0^1 = 2 ( 13 - 0 ) = 23

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força F ao longo da curva C é 23 unidades de trabalho.

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