Calcule o trabalho integralC F cdot d gamma realizado pelo campo de força F numa partícula que se move ao longo da curva C, em que:
F(x, y)=(x^3 y, x-y). C é o arco da parábola y=x^2 que tem como extremos os pontos (-2,4) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de força F(x, y) = (x^3 y, x - y) ao longo de uma curva C, que é um arco da parábola y = x^2 entre os pontos (-2, 4) e (1, 1). Para isso, vamos usar a teoria de integrais de linha, que nos permite calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W realizado por um campo de força F ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dgamma
Aqui, dgamma é o vetor diferencial de caminho ao longo da curva C.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva C. Como C é a parábola y = x^2, podemos usar x como parâmetro. Então, nossa parametrização será:
gamma(x) = (x, x^2)
onde x varia de -2 a 1, já que esses são os limites de x nos pontos dados.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor diferencial dgamma. Derivando gamma(x) em relação a x, temos:
dgammadx = (1, 2x)
Portanto,
dgamma = (1, 2x) dx

Passo 5

Em seguida, substituímos F e dgamma na integral de linha:
W = integral-2^1 F(gamma(x)) cdot dgammadx dx
Primeiro, vamos substituir F(gamma(x)):
F(x, x^2) = (x^3 cdot x^2, x - x^2) = (x^5, x - x^2)

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dgammadx:
(x^5, x - x^2) cdot (1, 2x) = x^5 cdot 1 + (x - x^2) cdot 2x = x^5 + 2x^2 - 2x^3

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral:
W = integral-2^1 (x^5 + 2x^2 - 2x^3) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral x^5 dx = x^66
integral 2x^2 dx = 2x^33
integral -2x^3 dx = -2x^44 = -x^42
Então, a integral fica:
W = [ x^66 + 2x^33 - x^42 ]-2^1

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de x = -2 a x = 1:
Primeiro, para x = 1:
1^66 + 2 cdot 1^33 - 1^42 = 16 + 23 - 12 = 16 + 46 - 36 = 26 = 13
Segundo, para x = -2:
(-2)^66 + 2 cdot (-2)^33 - (-2)^42 = 646 + 2 cdot (-8)3 - 162 = 646 - 163 - 8
Simplificando:
646 = 323, -163, -8 = -243
Então:
323 - 163 - 243 = 32 - 16 - 243 = -83

Passo 9

Finalmente, subtraímos o valor em x = -2 do valor em x = 1:
W = 13 - (-83) = 13 + 83 = 93 = 3

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo da curva C é W = 3 unidades de trabalho.

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