Calcule o trabalho
realizado pelo campo de força
numa partícula que se move ao longo da curva
, em que:
.
é o arco da parábola
que tem como extremos os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma curva
, que é um arco da parábola
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar a teoria de integrais de linha, que nos permite calcular o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por um campo de força
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o vetor diferencial de caminho ao longo da curva
.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
. Como
é a parábola
, podemos usar
como parâmetro. Então, nossa parametrização será:
onde
varia de
a
, já que esses são os limites de
nos pontos dados.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor diferencial
. Derivando
em relação a
, temos:
Portanto,
Passo 5
Em seguida, substituímos
e
na integral de linha:
Primeiro, vamos substituir
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de
a
:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Finalmente, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao longo da curva
é
unidades de trabalho.