Calcule o trabalho realizado pelo campo de força numa partícula que se move ao longo da curva , em que: . é o arco da parábola que tem como extremos os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de trabalho realizado por um campo de força. A gente precisa calcular a integral de linha , onde o vetor força é . A curva é o arco da parábola que vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como a equação da parábola está em termos de , podemos usar como nosso parâmetro. Então, deixamos , onde varia de a (os valores de nos pontos extremos). A equação da curva fica:
Então, nosso vetor posição é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os diferenciais e em termos de . Derivando e em relação a , temos:
Portanto, os diferenciais são:
Passo 4
Com esses diferenciais, podemos expressar o elemento de arco como o vetor . O campo de força avaliado na curva parametrizada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de a para encontrar o trabalho realizado:
Vamos calcular cada termo da integral separadamente.
Passo 7
Integrando cada termo:
Então, a integral completa é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de t = 2 e t = -3:
Para t = 2: