Calcule o trabalho integralC F cdot d gamma realizado pelo campo de força F numa partícula que se move ao longo da curva C, em que:
F(x, y)=(y^2, x). C é o arco da parábola x=4-y^2 que tem como extremos os pontos (-5,-3) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de trabalho realizado por um campo de força. A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dgamma, onde o vetor força é F(x, y) = (y^2, x). A curva C é o arco da parábola x = 4 - y^2 que vai do ponto (-5, -3) até o ponto (0, 2). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como a equação da parábola está em termos de y, podemos usar y como nosso parâmetro. Então, deixamos y = t, onde t varia de -3 a 2 (os valores de y nos pontos extremos). A equação da curva fica:
x(t) = 4 - t^2
Então, nosso vetor posição é r(t) = (4 - t^2, t).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os diferenciais dx e dy em termos de dt. Derivando x(t) e y(t) em relação a t, temos:
dxdt = -2t dydt = 1
Portanto, os diferenciais são:
dx = -2t , dt dy = dt

Passo 4

Com esses diferenciais, podemos expressar o elemento de arco dgamma como o vetor (dx, dy) = (-2t , dt, dt). O campo de força F(x, y) = (y^2, x) avaliado na curva parametrizada fica:
F(x(t), y(t)) = (t^2, 4 - t^2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dgamma:
F cdot dgamma = (t^2)(-2t , dt) + (4 - t^2)(dt) = -2t^3 , dt + (4 - t^2) , dt = (-2t^3 + 4 - t^2) , dt

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t = -3 a t = 2 para encontrar o trabalho realizado:
integralC F cdot dgamma = integral-3^2 (-2t^3 + 4 - t^2) , dt
Vamos calcular cada termo da integral separadamente.

Passo 7

Integrando cada termo:
integral (-2t^3) , dt = -24t^4 = -12t^4 integral 4 , dt = 4t integral (-t^2) , dt = -13t^3
Então, a integral completa é:
-12t^4 + 4t - 13t^3 |-3^2

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de t = 2 e t = -3:
Para t = 2:
-12(2)^4 + 4(2) - 13(2)^3 = -12(16) + 8 - 13(8) = -8 + 8 - 83 = -83
Para t = -3:
-12(-3)^4 + 4(-3) - 13(-3)^3 = -12(81) -12 - 13(-27) = -40.5 -12 + 9 = -43.5

Passo 9

Subtraindo os valores:
-83 - (-43.5) = -83 + 43.5 = 43.5 - 2.6667 = 40.8333
Convertendo para fração:
40.8333 = 1233 - 83 = 1153

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo da curva C é 1153 unidades de trabalho.

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