Calcule o trabalho integralC F cdot d gamma realizado pelo campo de força F numa partícula que se move ao longo da curva C, em que:
F(x, y, z)=(x y, y z, x z). C é parametrizada por gamma(t)=(t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre cálculo de trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma trajetória. Precisamos calcular a integral de linha $ \int_{C} \vec{F} \cdot d\gamma $, onde o campo de força é $ \vec{F}(x, y, z) = (xy, yz, xz) $ e a curva $ C $ é parametrizada por $ \gamma(t) = (t, t^{2}, t^{3}) $ para $ 0 \leq t \leq 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha $ \int_{C} \vec{F} \cdot d\gamma $. Ela representa o trabalho realizado pelo campo de força $ \vec{F} $ ao mover uma partícula ao longo da curva $ C $. Matematicamente, podemos parametrizar a curva usando uma função $ \gamma(t) $, onde $ t $ varia de 0 a 1.

Passo 3

Vamos parametrizar o campo de força $ \vec{F} $ ao longo da curva $ C $. Substituindo $ x = t $, $ y = t^{2} $ e $ z = t^{3} $ na expressão de $ \vec{F} $:
F

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização $ \gamma(t) $ em relação a $ t $, que é $ \gamma’(t) $:
gamma(t)

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar $ \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma’(t) $:
F(gamma(t)) cdot gamma'(t)

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de $ t = 0 $ a $ t = 1 $ para encontrar o trabalho realizado:
t = 0
Calculando cada integral separadamente:
t = 1

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
[ t^44 ]0^1 + 5 [ t^77 ]0^1 = ( 1^44 - 0 ) + 5 ( 1^77 - 0 ) = 14 + 57

Resposta

Somando as frações:
14 + 57 = 728 + 2028 = 2728
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é $ \frac{27}{28} $.

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