Calcule o trabalho
realizado pelo campo de força
numa partícula que se move ao longo da curva
, em que:
.
é parametrizada por
.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre cálculo de trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma trajetória. Precisamos calcular a integral de linha $ \int_{C} \vec{F} \cdot d\gamma $, onde o campo de força é $ \vec{F}(x, y, z) = (xy, yz, xz) $ e a curva $ C $ é parametrizada por $ \gamma(t) = (t, t^{2}, t^{3}) $ para $ 0 \leq t \leq 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de linha $ \int_{C} \vec{F} \cdot d\gamma $. Ela representa o trabalho realizado pelo campo de força $ \vec{F} $ ao mover uma partícula ao longo da curva $ C $. Matematicamente, podemos parametrizar a curva usando uma função $ \gamma(t) $, onde $ t $ varia de 0 a 1.
Passo 3
Vamos parametrizar o campo de força $ \vec{F} $ ao longo da curva $ C $. Substituindo $ x = t $, $ y = t^{2} $ e $ z = t^{3} $ na expressão de $ \vec{F} $:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização $ \gamma(t) $ em relação a $ t $, que é $ \gamma’(t) $:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar $ \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma’(t) $:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de $ t = 0 $ a $ t = 1 $ para encontrar o trabalho realizado:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Resposta
Somando as frações:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é $ \frac{27}{28} $.