Calcule o trabalho integralC F cdot d gamma realizado pelo campo de força F numa partícula que se move ao longo da curva C, em que:
F(x, y, z)=(y, z, x) C=C1 cup C2, em que C1 é o segmento de reta que liga os pontos (2,0,0) e (3,4,5) e C2 é o segmento de reta que liga os pontos (3,4,5) e (3,4,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força F = (y, z, x) quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, que é composta por dois segmentos de reta: C1 de (2, 0, 0) para (3, 4, 5) e C2 de (3, 4, 5) para (3, 4, 0). Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em um campo de força. O trabalho realizado por um campo F ao mover uma partícula ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha:
integralC F cdot dgamma
Isso significa que precisamos calcular essa integral para os dois segmentos C1 e C2 e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com o segmento C1, que vai de (2, 0, 0) para (3, 4, 5). Para integrar ao longo dessa curva, precisamos parametrizar C1.
A parametrização linear de C1 pode ser feita da seguinte forma:
r1(t) = (2, 0, 0) + t cdot (3-2, 4-0, 5-0) = (2 + t, 4t, 5t)
onde t varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de r1(t) em relação a t, que nos dá dr1:
dr1dt = (1, 4, 5)
Então,
dgamma1 = (1, 4, 5) , dt

Passo 5

Substituímos F e dgamma1 na integral para C1:
integralC1 F cdot dgamma1 = integral0^1 F(r1(t)) cdot dr1dt , dt
F(r1(t)) = (y, z, x) = (4t, 5t, 2 + t)
Portanto,
integral0^1 (4t, 5t, 2 + t) cdot (1, 4, 5) , dt = integral0^1 (4t cdot 1 + 5t cdot 4 + (2 + t) cdot 5) , dt
= integral0^1 (4t + 20t + 10 + 5t) , dt = integral0^1 (29t + 10) , dt

Passo 6

Vamos integrar 29t + 10 em relação a t:
integral0^1 29t , dt = 292 t^2 |0^1 = 292 (1)^2 - 0 = 292
integral0^1 10 , dt = 10t |0^1 = 10(1) - 0 = 10
Então, o trabalho em C1 é:
292 + 10 = 292 + 202 = 492

Passo 7

Agora, vamos para o segmento C2, que vai de (3, 4, 5) para (3, 4, 0). Vamos parametrizar C2:
r2(t) = (3, 4, 5) + t cdot (3-3, 4-4, 0-5) = (3, 4, 5 - 5t)
onde t varia de 0 a 1.

Passo 8

Encontramos a derivada de r2(t):
dr2dt = (0, 0, -5)
Então,
dgamma2 = (0, 0, -5) , dt

Passo 9

Substituímos F e dgamma2 na integral para C2:
integralC2 F cdot dgamma2 = integral0^1 F(r2(t)) cdot dr2dt , dt
F(r2(t)) = (y, z, x) = (4, 5 - 5t, 3)
Portanto,
integral0^1 (4, 5 - 5t, 3) cdot (0, 0, -5) , dt = integral0^1 (4 cdot 0 + (5 - 5t) cdot 0 + 3 cdot (-5)) , dt
= integral0^1 (-15) , dt = -15t |0^1 = -15(1) - (-15)(0) = -15

Passo 10

Finalmente, somamos os trabalhos dos dois segmentos para obter o trabalho total realizado ao longo da curva C:
Trabalho total = 492 + (-15) = 492 - 302 = 192

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo da curva C é 192 unidades de trabalho.

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