Calcule o trabalho realizado pelo campo de força numa partícula que se move ao longo da curva , em que: , em que é o segmento de reta que liga os pontos e e é o segmento de reta que liga os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando uma partícula se move ao longo de uma curva , que é composta por dois segmentos de reta: de para e de para . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em um campo de força. O trabalho realizado por um campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Isso significa que precisamos calcular essa integral para os dois segmentos e e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com o segmento , que vai de para . Para integrar ao longo dessa curva, precisamos parametrizar .
A parametrização linear de pode ser feita da seguinte forma:
onde varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá :
Então,
Passo 5
Substituímos e na integral para :
Portanto,
Passo 6
Vamos integrar em relação a :
integral0^1 10 , dt = 10t |0^1 = 10(1) - 0 = 10
Então, o trabalho em C1 é:
292 + 10 = 292 + 202 = 492
Passo 7
Agora, vamos para o segmento C2, que vai de (3, 4, 5) para (3, 4, 0). Vamos parametrizar C2: