Verifique que
é conservativo, determine uma função potencial
tal que
e calcule
em cada um dos itens a seguir.
e
é parametrizada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Depois, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
e calcular a integral de linha
, onde a curva
é parametrizada por
para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
e
. Além disso, em um domínio simplesmente conexo, isso acontece se e somente se
.
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na constante de integração. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Portanto, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante
, então:
Passo 4
Agora vamos calcular a integral de linha
. Como
é conservativo e
é uma curva que vai de um ponto inicial a um ponto final, a integral depende apenas dos valores da função potencial nos pontos extremos.
No entanto, se
é uma curva fechada (isto é, o ponto inicial é igual ao ponto final), a integral será zero. Vamos verificar isso.
A parametrização dada é
para
. Vamos ver os pontos inicial e final:
Para
:
Para
:
Como os pontos inicial e final são diferentes ($ (1, 0) $ e $ (-e^{\pi}, 0) $), a curva
não é fechada. Portanto, precisamos calcular a diferença da função potencial nos pontos final e inicial.
Passo 5
Vamos calcular
nos pontos final e inicial.
Ponto inicial
:
Ponto final
:
Agora, a integral de linha é a diferença da função potencial no ponto final menos no ponto inicial:
Resposta
A integral de linha
vale
.