Verifique que F(x, y) é conservativo, determine uma função potencial varphi tal que F=nabla varphi e calcule integralC F cdot d gamma em cada um dos itens a seguir.
F(x, y)=(3+2 x y, x^2-3 y^2) e C é parametrizada por gamma(t)=(e^t cos t, e^t sen t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy, x^2 - 3y^2) é conservativo. Depois, precisamos encontrar uma função potencial varphi tal que F = nabla varphi e calcular a integral de linha integralC F cdot dgamma, onde a curva C é parametrizada por gamma(t) = (e^t cos t, e^t sin t) para 0 <= t <= pi. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se F é conservativo. Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existe uma função potencial varphi tal que P = partial varphipartial x e Q = partial varphipartial y. Além disso, em um domínio simplesmente conexo, isso acontece se e somente se partial Ppartial y = partial Qpartial x.
Vamos calcular essas derivadas parciais:
partial Ppartial y = partial (3 + 2xy)partial y = 2x
partial Qpartial x = partial (x^2 - 3y^2)partial x = 2x
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial varphi. Para isso, integramos P em relação a x:
varphi(x, y) = integral P , dx = integral (3 + 2xy) , dx = 3x + x^2y + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece na constante de integração. Para encontrar h(y), derivamos varphi em relação a y e igualamos a Q:
partial varphipartial y = x^2 + h'(y) = Q = x^2 - 3y^2
Isso nos dá:
h'(y) = -3y^2 implies h(y) = -y^3 + C
Portanto, a função potencial é:
varphi(x, y) = 3x + x^2y - y^3 + C
Podemos ignorar a constante C, então:
varphi(x, y) = 3x + x^2y - y^3

Passo 4

Agora vamos calcular a integral de linha integralC F cdot dgamma. Como F é conservativo e C é uma curva que vai de um ponto inicial a um ponto final, a integral depende apenas dos valores da função potencial nos pontos extremos.
No entanto, se C é uma curva fechada (isto é, o ponto inicial é igual ao ponto final), a integral será zero. Vamos verificar isso.
A parametrização dada é gamma(t) = (e^t cos t, e^t sin t) para 0 <= t <= pi. Vamos ver os pontos inicial e final:
Para t = 0:
gamma(0) = (e^0 cos 0, e^0 sin 0) = (1, 0)
Para t = pi:
gamma(pi) = (e^pi cos pi, e^pi sin pi) = (-e^pi, 0)
Como os pontos inicial e final são diferentes ($ (1, 0) $ e $ (-e^{\pi}, 0) $), a curva (1, 0) não é fechada. Portanto, precisamos calcular a diferença da função potencial nos pontos final e inicial.

Passo 5

Vamos calcular varphi nos pontos final e inicial.
Ponto inicial (1, 0):
varphi(1, 0) = 3(1) + (1)^2(0) - (0)^3 = 3 + 0 - 0 = 3
Ponto final (-e^pi, 0):
varphi(-e^pi, 0) = 3(-e^pi) + (-e^pi)^2(0) - (0)^3 = -3e^pi + 0 - 0 = -3e^pi
Agora, a integral de linha é a diferença da função potencial no ponto final menos no ponto inicial:
integralC F cdot dgamma = varphi(-e^pi, 0) - varphi(1, 0) = (-3e^pi) - (3) = -3e^pi - 3

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dgamma vale -3e^pi - 3.

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