Calcule o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual \mathrm{Q}=5 \mu \mathrm{C} entre a origem \mathrm{e}(2 \mathrm{~m}, \pi / 4, \pi / 2), em coordenadas esféricas, no campo:
\mathbf{E}=5 e^{-r / 4} \hat{\mathbf{r}}+\frac{10}{r \operatorname{sen} \theta} \widehat{\boldsymbol{\varphi}}(\mathrm{~V} / \mathrm{m})

Passo 1

O enunciado pede o trabalho para levar uma carga puntiforme Q=5\,\mu\mathrm{C} desde a origem até o ponto cujas coordenadas esféricas são \bigl(r=2\;\mathrm{m},\,\theta=\pi/4,\,\varphi=\pi/2\bigr), sob o campo elétrico
\mathbf{E}(r,\theta,\varphi) =5\,e^{-r/4}\,\hat{\mathbf r}\;+\;\frac{10}{r\sin\theta}\,\hat{\boldsymbol\varphi} \quad(\mathrm{V/m}).
O conteúdo envolve trabalho de uma força elétrica, que se obtém por um integral de linha
W =Q\int_{\mathcal C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol\ell.

Passo 2

Verificamos que o termo em \hat{\boldsymbol\varphi} torna o campo não conservativo (há dependência de \varphi), de modo que o resultado do integral depende do caminho. Para simplificar, escolhemos o trajeto que vai radialmente de r=0 até r=2, mantendo \theta=\pi/4 e \varphi=\pi/2 constantes. Nesse percurso não há deslocamento na direção \hat{\boldsymbol\varphi}, então só o componente radial contribui.

Passo 3

Num movimento puramente radial com \theta e \varphi constantes temos
d\boldsymbol\ell =dr\,\hat{\mathbf r}, \qquad \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol\ell =E_r\,dr =5\,e^{-r/4}\,dr.

Passo 4

O trabalho feito pelo campo (isto é, pelo campo elétrico atuando na carga) é
W_{\text{campo}} =Q\int_{r=0}^{r=2}5\,e^{-r/4}\,dr.
Calculamos
\int_{0}^{2} e^{-r/4}\,dr =\Bigl[-4\,e^{-r/4}\Bigr]_{0}^{2} =-4\bigl(e^{-2/4}-1\bigr) =4\bigl(1-e^{-1/2}\bigr).
Logo
W_{\text{campo}} =Q\cdot5\cdot4\bigl(1-e^{-1/2}\bigr) =20\,Q\bigl(1-e^{-1/2}\bigr).

Passo 5

Substituindo Q=5\times10^{-6}\,\mathrm{C} obtemos
W_{\text{campo}} =20\times5\times10^{-6}\bigl(1-e^{-1/2}\bigr)\; \mathrm{J} =1{,}0\times10^{-4}\bigl(1-e^{-1/2}\bigr)\;\mathrm{J}.
Numericamente, 1-e^{-1/2}\approx0{,}3935, então
W_{\text{campo}}\approx3{,}94\times10^{-5}\;\mathrm{J}.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo para mover a carga é aproximadamente
3{,}94\times10^{-5}\;\mathrm{J}.
Se o enunciado pedir o trabalho que deve ser fornecido por um agente externo (isto é, o negativo do anterior), seria -3{,}94\times10^{-5}\;\mathrm{J}.

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