Em coordenadas cilíndricas, uma distribuição de cargas é dada por \rho=5 r e^{-2 r}\left(\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right). Use a lei de Gauss para obter \mathbf{E}.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de carga em coordenadas cilíndricas
\rho(r)=5\,r\,e^{-2r}\quad(\mathrm{C}/\mathrm{m}^3),
e pede o campo elétrico \mathbf E usando a lei de Gauss. O conteúdo é eletrostática com simetria cilíndrica, e vamos precisar de:
1. Reconhecer que \mathbf E só depende de r e é radial.
2. Escolher uma superfície gaussiana cilíndrica.
3. Calcular a carga total interna Q_{\rm enc}.
4. Aplicar \displaystyle\oint\mathbf E\cdot d\mathbf A = Q_{\rm enc}/\varepsilon_0.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, \mathbf E(r)=E(r)\,\hat r. Escolhemos um cilindro de raio r e comprimento L. O elemento de volume é
dV = r'\,d\varphi\,dr'\,dz,
logo a carga interna é
Q_{\rm enc} = \int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{r} \rho(r')\,r'\,dr'\,d\varphi\,dz =2\pi L \int_{0}^{r} 5\,r'\,e^{-2r'}\,r'\,dr' =2\pi L \int_{0}^{r} 5\,r'^2 e^{-2r'}\,dr'.

Passo 3

Calcular o integral
\int_{0}^{r} r'^2 e^{-2r'}\,dr'.
Usando integração por partes (ou fórmula tabelada), para a=2 obtém-se
\int_{0}^{r} r'^2 e^{-2r'}\,dr' =\frac{1}{4}-\frac{e^{-2r}}{2}\bigl(r^2+r+\tfrac12\bigr).
Multiplicando por 5,
\int_{0}^{r}5\,r'^2 e^{-2r'}\,dr' =\frac{5}{4}-\frac{5}{2}\,e^{-2r}\bigl(r^2+r+\tfrac12\bigr).
Então
Q_{\rm enc} =2\pi L\Bigl[\frac{5}{4}-\frac{5}{2}e^{-2r}(r^2+r+\tfrac12)\Bigr].

Passo 4

Pela lei de Gauss, a superfície lateral do cilindro dá
\oint \mathbf E\cdot d\mathbf A =E(r)\,(2\pi r L) =\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}.
Substituindo Q_{\rm enc} e isolando E(r),
E(r) =\frac{1}{2\pi r L\,\varepsilon_0}\;2\pi L \Bigl[\frac{5}{4}-\frac{5}{2}e^{-2r}(r^2+r+\tfrac12)\Bigr] =\frac{5}{4\varepsilon_0\,r}\Bigl[1- e^{-2r}(2r^2+2r+1)\Bigr].

Passo 5

Como o campo é radial, escrevemos
\mathbf E(r) =E(r)\,\hat r =\frac{5}{4\varepsilon_0\,r}\,\Bigl[1- e^{-2r}(2r^2+2r+1)\Bigr]\;\hat r.

Resposta

\boxed{\mathbf E(r)=\frac{5}{4\varepsilon_0\,r}\,\bigl[1- e^{-2r}(2r^2+2r+1)\bigr]\;\hat r.}

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