a) Calcule o trabalho que é necessário realizar para trazer uma carga +Q desde o infinito até ao ponto S, em x=b.
b) Escreva uma aproximação para o potencial em S, na condição b gg a.
c) Use o resultado da alínea anterior para obter o campo eléctrico no ponto S.

Passo 1

Beleza, o enunciado é sobre um dipolo elétrico: uma carga +q em x=+a e outra –q em x=–a, e queremos trazer uma carga de prova +Q do infinito até o ponto S, que fica em x=b.
Matéria: eletrostática (potencial de cargas pontuais, trabalho para mover carga, expansão binomial e relação entre campo e potencial).
O que vamos usar:
  1. Potencial de uma carga pontual:
V( r)=14pivarepsilon0,qr,
  1. Trabalho para mover carga +Q de ∞ até S:
W=Ql[V(S)-V(infty)r]=Q,V(S)(!V(infty)=0!)
  1. Expansão binomial para 1bpm aapprox1bl(1mpabr), :
Ex=- dV dxg|x=b,
  1. Campo a partir do potencial:

Passo 2

Primeiro, escrevo o potencial total em S (x=b) somando as duas cargas do dipolo:
V(S)=14pivarepsilon0l[+q,b-a,+-q,b+a,r] =14pivarepsilon0l(qb-a-qb+ar)
Então o trabalho para levar +Q do infinito até S é
W =Q,V(S) =Q;14pivarepsilon0l(qb-a-qb+ar)

Passo 3

Agora, para 1bpm aapprox1bl(1mpabr) , usamos a expansão binomial:
V(S)approx14pivarepsilon0;q l[1bl(1+abr) -1bl(1-abr)r] =14pivarepsilon0;q;2ab^2 ;
Substituindo em V(S)approx14pivarepsilon0;pb^2 :
Se definirmos o momento de dipolo , fica

Passo 4

O campo elétrico em S (eixo x) é
Ex=- dV dx|x=b =- d dbl(14pivarepsilon0pb^2r) =14pivarepsilon0,2,pb^3 ;
Ou, em função de Exapprox14pivarepsilon0;4,q,ab^3 e :

Resposta

a) V(S)approx14pivarepsilon0,2,q,ab^2 =14pivarepsilon0,pb^2 .
b) Para Exapprox14pivarepsilon0,4,q,ab^3 ;=;14pivarepsilon0,2,pb^3 :
c)

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