Uma placa plana de plástico mede 50 cm times 50 cm times 3 mm. Ela é carregada atritando-se uma de suas faces, ganhando uma carga total Q=-10^-6 C. Assumindo que a carga seja distribuída uniformemente nesta face:
calcule o campo elétrico no ponto P a uma distância d=2 mm acima do centro da placa. Atenção: EXPLIQUE passo a passo o seu cálculo,

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma placa de plástico quadrada de 50 cm×50 cm com espessura de 3 mm (a espessura não influencia muito no campo fora da placa, só precisamos da face). Ela recebe carga total Q=–1×10⁻⁶ C espalhada uniformemente nessa face. Queremos achar o campo elétrico no ponto P que fica a d=2 mm acima do centro da placa.
Conteúdo: eletrostática – campo de uma distribuição de carga superficial finita. Vamos precisar de:
  1. calcular densidade de carga σ=Q/A;
  2. usar a expressão do campo no eixo normal a um retângulo uniformemente carregado;
  3. trocar todas as medidas para o SI (metros, coulombs).

Passo 2

Primeiro a densidade de carga:
A área da face é
A = 0,50;m times 0,50;m = 0,25;m^2
Logo
sigma = QA = -1times10^-6, C0,25, m^2 = -4,0times10^-6, C/m^2,
Agora a teoria: o campo no eixo normal (distância z acima do centro) de um retângulo de lados a×b uniformemente carregado é
Ez ;=; 4,E1!/!4 placa ;=;4;sigma4pivarepsilon0; arctan!gl(XYzraizX^2+Y^2+z^2gr)
onde X=a/2, Y=b/2. Aí o 4 cancela com o 4 do denominador, sobrando
Ez = sigmapivarepsilon0;arctan!l(XYzraizX^2+Y^2+z^2r),
Nesse caso a=b=0,50 m, z=d=0,002 m, então X=Y=0,25 m.

Passo 3

Vamos calcular o argumento do arctan:
XY = 0,25cdot0,25 = 0,0625; m^2
$$X2+Y2+z^2 = 0{,}252+0{,}252+0{,}002^2 = 0{,}0625+0{,}0625+0{,}000004
\approx 0{,}125004;\mathrm m^2$$
X^2+Y^2+z^2 = 0,25^2+0,25^2+0,002^2 = 0,0625+0,0625+0,000004 approx 0,125004; m^2
Então
$$\frac{XY}{z\sqrt{X2+Y2+z^2}}
=\frac{0{,}0625}{0{,}002\cdot0{,}3536}
\approx\frac{0{,}0625}{0{,}0007072}
\approx88{,}4 raizX^2+Y^2+z^2approx raiz0,125004approx0,3536; m\arctan(88{,}4)\approx1{,}559;rad\quad(\sim89{,}4^\circ).$$
Agora o fator σ/(πε₀):
XYzraizX^2+Y^2+z^2 =0,06250,002cdot0,3536 approx0,06250,0007072 approx88,4
arctan(88,4)approx1,559;rad(sim89,4^circ)
Multiplicando pelo arctan:
$$E_z = -1{,}44\times10^5\cdot1{,}559
\approx -2{,}24\times10^5;\mathrm{N/C}.$$

Resposta

O campo no ponto P é
boxedE = 2,24times10^5;N/C
em módulo, apontando para baixo (ou seja, sentido da placa, pois Q é negativo).

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